Muchas fuentes pueden decirle que el camino de una trayectoria es una parábola . De hecho, todas las fórmulas matemáticas y los cálculos relacionados con las trayectorias de los objetos que caen, se lanzan o se impulsan respaldan esa interpretación. Pero tratándose de satélites terrestres y misiles balísticos, lo cierto es que sus órbitas son porciones de elipses .

El canon de Newton en una montaña

La bala de cañón de Newton fue un experimento mental de Isaac Newton utilizado para plantear la hipótesis de que la fuerza de la gravedad era universal y era la fuerza clave para el movimiento planetario.

Aquí hay una versión interactiva: el cañón de Newton en una montaña

Si un objeto tiene una velocidad inferior a la de escape (para la Tierra es de 11,2 km/s ), su trayectoria es una elipse . Si el objeto tiene una velocidad igual a la velocidad de escape, tiene una trayectoria parabólica . Si es mayor que la velocidad de escape, es hiperbólica .

Normalmente, cuando lanzamos un objeto, la ruta real del objeto es parte de una elipse más grande, como muestra la imagen de abajo, pero como la velocidad no es suficiente, el objeto golpea el suelo antes de completar una ruta elíptica completa que parece ser una parábola.

Las trayectorias parabólicas se vuelven más y más planas a medida que el cañón se dispara más rápido. Newton imaginó que la montaña era tan alta que se podía ignorar la resistencia del aire y que el cañón era lo suficientemente potente.

PD: La montaña de Newton era imposiblemente alta, pero se dio cuenta de que la trayectoria circular de la luna alrededor de la tierra podría ser causada por la misma fuerza gravitacional que atrae la bala de cañón en su órbita, en otras palabras, la misma fuerza que hace que los objetos caigan.

La respuesta a su pregunta es que la trayectoria del fútbol es realmente "elíptica", ya que su velocidad es mucho menor que la velocidad de escape. Pero para nosotros, "aproximamos su trayectoria a una parábola".

ACTUALIZACIÓN: respuesta matemática a su pregunta.

Podemos usar ecuaciones de movimiento de proyectiles de la siguiente manera.

Ecuación para la trayectoria del movimiento de un proyectil:

$\displaystyle y= x\tan\theta -{\frac{g}{2u^2\cos^2\theta}}x^2$

(sí, es una ecuación de parábola, pero mencioné anteriormente que la fórmula matemática y los cálculos relacionados con las trayectorias de los objetos se aproximan a la parábola)

Ahora a partir de su pregunta podemos tener situaciones:

CASO-1: Cuando el objeto se lanza inclinado en un ángulo$\theta_1$con una velocidad$u$

Entonces la altura máxima que alcanzará el objeto está dada por:

$\displaystyle h=\frac{u^2\sin^2\theta_1}{2g}$

Ahora si$\theta_1= 30^\circ$y velocidad inicial$u= 100\ \mathrm{m/s}$(solo para consideración)

Entonces la altura máxima que alcanzará el objeto es igual a:

$h= 127.55$metros

Ahora, usando el mismo ángulo y velocidad, si calculamos la distancia máxima recorrida (llamada el alcance del proyectil) tenemos

$\displaystyle R_\text{max}=\frac{u^2\sin2\theta_1}{g}$

Ahora, reemplazando los valores, tenemos$R=883.69$metros

CASO-2: Cuando el objeto es lanzado con un ángulo mayor que antes pero con la misma velocidad.

Ahora di el ángulo$\theta_2=60^\circ$(Ángulo más alto que antes) y$u=100\ \mathrm{m/s}$

Entonces usando la misma ecuación usada antes tenemos

$h= 382.65$metros y$R= 441.83$metros

RESULTADO:

Podemos ver claramente que la altura máxima en el caso 1 es menor que la del caso 2 y el rango máximo en el caso 1 es mayor que el del caso 2

Lo que significa que el camino en el caso 1 es menos alto y más lejano. Pero el camino en el caso 2 es más alto y menos lejano. Vea la imagen de abajo para más aclaraciones.

(Perdón por los colores funky :P)

Fuente de la imagen: http://www.faculty.virginia.edu/rwoclass/astr1210/guide08.html ; https://www.lhup.edu/~dsimanek/scenario/secrets.htm .

Para ampliar un poco nuestros comentarios, ¿quieres decir que esperas que la trayectoria tenga una forma diferente al final que al principio? De nuevo, esto solo es posible con fricción. Si no hay fricción, la ecuación de movimiento de Newton es

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g}$

y es invariante bajo la transformación$t \mapsto -t$(se dice que tiene simetría de inversión de tiempo ). La consecuencia práctica es que su trayectoria debe tener algún eje de simetría: la pelota de fútbol no puede moverse de manera diferente volando hacia arriba que cayendo hacia abajo porque cada uno de estos movimientos se mapean entre sí a través de la transformación de inversión de tiempo.

Sin embargo, si agrega un término de fricción como

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g} - k \frac{d \vec{r}}{dt}$

(con$k >0$)

entonces rompes la simetría de inversión de tiempo porque$\vec{v}$se convierte$- \vec{v}$bajo esta transformación. Por lo tanto, como señaló @leftaroundabout, necesita un término de fricción para obtener la distorsión de la trayectoria que describió en su pregunta.