La velocidad de propagación de la información (clásica, no cuántica)

Parece ser una declaración común en los libros de texto que:

"Para una ecuación de onda lineal con la relación de dispersión ω k , la velocidad de propagación de la información está dada por la velocidad de grupo".

que generalmente se demuestra por la propagación de un paquete de ondas centrado alrededor de un específico k (por ejemplo, wikipedia ). Pero esto parece estar muy lejos de ser una prueba de que no hay forma de transmitir información más rápido que eso.

En general, suponiendo que existe un límite superior para la velocidad del grupo, ¿existe una forma rigurosa de demostrar que limita la velocidad de propagación de la información? ¿O cómo se debe atacar este problema?

Actualización: gracias a @freecharly, la velocidad del grupo puede ser mayor que la velocidad de la señal según el libro de Milonni . Entonces cambiaría la pregunta: para una relación de dispersión genérica, ¿cómo se decide la velocidad máxima para la propagación de la información?

Tal declaración sería una tontería porque es fácil encontrar ejemplos dispersivos donde la velocidad del grupo es realmente negativa y ni las cosas ni la información pueden viajar hacia atrás en el tiempo, o lo que sea que pueda significar la velocidad del grupo negativa.
Entonces, uno puede cambiar la pregunta a: para la relación de dispersión genérica, ¿cómo se decide la velocidad máxima para la propagación de la información?
en las comunicaciones de RF, uno puede ver el borde del pulso de ataque como el comienzo de la información y normalmente se propaga con la velocidad del grupo, pero para eso se debe asumir que el medio no es muy dispersivo. Para esta interpretación, se debe tener que la velocidad del grupo sea positiva y que la señal en sí sea de banda estrecha para que la envolvente sea razonablemente estable y no cambie durante el tiempo de observación.
El argumento de tipo envolvente es más como una heurística que una prueba para mí: eso no podría (lógicamente) excluir la posibilidad de que algunos creativos creen una onda de tipo no envolvente para transmitir información de alguna manera, que es más rápida que la propagación envolvente. Además, incluso sin un sobre estable, no veo por qué no se podría intentar enviar información de otras formas, lo que podría tener un límite superior para la velocidad de propagación de la información.

Respuestas (1)

En mi opinión, no hay pruebas conocidas de que la velocidad de grupo limite la velocidad de propagación de la información. El único límite real es la velocidad de la luz. Incluso en situaciones en las que la velocidad del grupo está por debajo de la velocidad de la luz, suele haber componentes de onda que se propagan a la velocidad de la luz. Ver Wikipedia "Velocidad frontal" .

¿Podría proporcionar un contraejemplo explícito? Estoy imaginando una ecuación de onda lineal genérica, no un sistema físico, por lo que el concepto de la velocidad de la luz no podría surgir.
@ Yen-TaHuang: ¿qué quiere decir con una "ecuación de onda lineal genérica"? Un sistema descrito por una ecuación de onda simple
Δ ϕ = 1 v 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2
donde v es la velocidad de propagación? Aquí tienes una ecuación de dispersión lineal y las velocidades de grupo y fase son iguales.
Cualquier EDP lineal con derivada espacial y temporal de orden finito, con simetría traslacional. Por ejemplo, aceptaría ∂ t 2 ψ = ( ∂ X 2 + λ ∂ X 4 + metro 2 ) ψ
@Yen-TaHuang: consulte Wikipedia sobre la velocidad frontal; en.wikipedia.org/wiki/Front_velocity y referencias dadas allí.
Ya veo, entonces ese es un contraejemplo de que la velocidad del grupo excede la velocidad de la información. Entonces, uno puede cambiar la pregunta a: para la relación de dispersión genérica, ¿cómo se decide la velocidad máxima para la propagación de la información?
@ Yen-TaHuang: si su ecuación de dispersión genérica describe un sistema físico que es causal, la velocidad máxima de propagación de la información es definitivamente inferior o igual a la velocidad de la luz. Podría resolver el problema del valor límite dependiente del tiempo (o un problema de valor inicial con amplitud localizada) y ver cuál es la velocidad de propagación de una señal. Esto corresponde a la velocidad de la señal considerada por Sommerfeld como se cita en la ref. 1 en el artículo de Wikipedia vinculado sobre la velocidad frontal. La forma más sencilla de hacer esto es mediante la transformación de Fourier de la ecuación de onda que está considerando.
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