La siguiente es una condición necesaria para que un número sea primo, a partir de su desarrollo de dígitos. ¿Se ha referido a alguna parte?

Tu observación es un caso especial de factores de polinomios basados ​​en el contenido .

Suponer que$\,f(x)\,$es un polinomio no constante cuyos coeficientes son todos enteros no negativos.$\ \ $Si$\,f\,$tiene contenido no trivial, es decir, si el gcd$\,d\,$de todos los coeficientes de$\,f\,$es$>1,\,$entonces se sigue que$\,d\mid f(n)\,$adecuadamente para todos$\,n>1,\,$entonces$\,f(n)\,$es compuesto para todos$\,n>1$.

Esto se aplica a OP porque la notación de base es una función polinomial de la base (del tipo anterior).

Observación $\ $Hay muchas relaciones interesantes entre las propiedades de factorización de los polinomios y sus valores. por ejemplo, en$1918$Stackel publicó lo siguiente

teorema si$\rm\, f(x)\,$es un polinomio de coeficiente entero compuesto entonces$\rm\, f(n)\,$es compuesto para todos$\rm\,|n| > B,\,$por algún límite$\rm\,B.\,$De hecho$\rm\, f(n)\,$tiene como máximo$\rm\, 2d\,$valores primos, donde$\rm\, d = {\rm deg}(f)$.

La prueba simple se puede encontrar en línea en Mott & Rose [3] , p. 8.

Contrapositivamente,$\rm\, f(x)\,$es primo (irreducible) si asume un valor primo para lo suficientemente grande$\rm\, |x|\,$. Como ejemplo, Polya-Szego popularizó la prueba de irreducibilidad de A. Cohn, que establece que$\rm\, f(x) \in \mathbb Z[x]\,$es primo si$\rm\, f(b)\,$produce un primo en radix$\rm\,b\,$representación (entonces$\rm\,0 \le f_i < b).$

Por ejemplo$\rm\,f(x) = x^4 + 6\, x^2 + 1 \pmod p\,$factores para todos los números primos$\rm\,p,\,$todavía$\rm\,f(x)\,$es primo desde$\rm\,f(8) = 10601\rm$octales$= 4481$es primo La prueba de Cohn falla si, en radix$\rm\,b,\,$se permiten dígitos negativos, por ejemplo$\rm\,f(x)\, =\, x^3 - 9 x^2 + x-9\, =\, (x-9)\,(x^2 + 1)\,$pero$\rm\,f(10) = 101\,$es primo

Por el contrario, Bouniakowski conjeturó$(1857)$ese primo$\rm\, f(x)\,$asumir infinitos valores primos (excluyendo los casos donde todos los valores de$\rm\,f\,$tienen divisores comunes fijos, por ejemplo$\rm\, 2\: |\: x(x+1)+2\, ).$Sin embargo, excepto para los polinomios lineales (teorema de Dirichlet), esta conjetura nunca se ha probado para ningún polinomio de grado$> 1.$

Tenga en cuenta que un resultado que arroja la existencia de un valor primo se extiende a la existencia de infinitos valores primos, para cualquier clase de polinomios cerrados por cambios, a saber. si$\rm\:f(n_1)\:$es primo, entonces$\rm\:g(x) = f(x+ n_1\!+1)\:$es primordial para algunos$\rm\:x = n_2\in\Bbb N,\:$etc.

Para una discusión más detallada de la conjetura de Bouniakowski y los resultados relacionados, incluidos los argumentos heurísticos y probabilísticos, consulte el Capítulo 6 de The New Book of Prime Number Records de Ribenboim .

[1] Bill Dubuque, sci.math 2002-11-12, Sobre polinomios productores de números primos.

[2] Murty, Ram. Números primos y polinomios irreducibles.
Amer. Matemáticas. Mensual, vol. 109 (2002), núm. 5, 452-458.

[3] Mott, Joe L.; Rosa, Kermit. Polinomios cúbicos productores primos.
Métodos teóricos ideales en álgebra conmutativa, 281-317.
Apuntes de clase en Pure y Appl. Math., 220, Dekker, Nueva York, 2001.