¿La rotación de la Tierra afecta su forma?

La Tierra es mayormente fluida. Esto puede parecer una afirmación extraña, pero la roca en el manto se comporta como un fluido extremadamente viscoso, por lo que puede ocurrir la deriva continental.

De todos modos, si imaginas una gota estacionaria de líquido, formará una esfera. Esto es un poco engañoso porque las gotas pequeñas forman esferas debido a la tensión superficial, no a la gravedad, pero los resultados finales son similares. Si comienzas a girar la gota, el agua en el "ecuador" sentirá una fuerza hacia afuera debido a la rotación, por lo que la gota cambiará de forma y se hará más grande alrededor del ecuador mientras los polos se aplanan. Esta forma se conoce como esferoide achatado y, de hecho, es la forma de la Tierra porque la Tierra se comporta como una gota de fluido en rotación.

Intentar calcular el cambio de forma es un poco complicado, pero afortunadamente alguien ha hecho todo el trabajo duro por ti y puedes encontrar los resultados: Thayer Watkins: La forma de una masa fluida en rotación .

No creo que sea difícil derivar analíticamente la forma de la Tierra. Simplemente busque la forma de las superficies de igual potencial.

La simetría geométrica reduce el cálculo a un problema bidimensional. Suponga que el eje de rotación es vertical. El potencial es la suma del gravitatorio más el centrífugo:

$\Phi=\Phi_{g}+\Phi_{c}=-\frac{GM_{(x,y)}}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{\omega^{2}}{2}x^{2}=-\frac{GM_{r}}{r}+\frac{\omega^{2}}{2}r^{2} \cos^{2} l$

El ángulo$l$es igual a la latitud, y$M_{r}$es la masa encerrada por una superficie esférica ( pero vea la nota al pie ) en el punto, es decir$M_{r}=\frac{4}{3}\pi \rho r^{3}$asumiendo un modelo de densidad constante. Por lo tanto,

$\Phi= -\frac{4}{3} G \pi \rho r^{2} +\frac{\omega^{2}}{2}r^{2} \cos^{2} l = r^{2}(\frac{\omega^{2}}{2}\cos^{2} l -\frac{4}{3} G \pi \rho)$

Así, la familia de curvas de potencial constante (negativo)$\Phi=-C^{2}$es:

$-C^{2} = r^{2}(\frac{\omega^{2}}{2}\cos^{2} l -\frac{4}{3} G \pi \rho) = r^{2}(A^{2} \cos^{2} l -B^{2})$

Volvamos a las coordenadas rectangulares, para ver que efectivamente se trata de una elipse:

$C^{2} = r^{2}(B^{2} - A^{2} \cos^{2} l) = (x^{2}+y^{2})(B^{2} - A^{2} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}) = (x^{2}+y^{2})B^{2} - A^{2} x^{2}$

$C^{2} = (B^{2} - A^{2}) x^{2} + B^{2} y^{2}$

Para que esa ecuación sea una elipse,$B^{2} - A^{2}$debe ser positivo. Esto es natural, de lo contrario (vea cómo definimos$A$y$B$) la velocidad angular$\omega$haría que la fuerza centrífuga fuera más fuerte que la fuerza gravitacional. Los semiejes son entonces$1/B$para la dirección vertical, y$1/\sqrt{B^{2} - A^{2}}$, es decir, más grande, en la dirección horizontal. Tenga en cuenta también, que$A=0$para$\omega = 0$, es decir, recuperas la forma esférica si no hay rotación.

Por lo tanto, una Tierra con densidad constante que gira como un sólido rígido se puede aproximar a una forma de elipsoide, cuya dimensión a lo largo del eje de rotación es más pequeña.

Además, probablemente no necesitemos que el interior de la Tierra esté fundido para que la suposición del equilibrio hidrostático sea válida. Podría ser completamente frío y sólido y el modelo aún se mantendría, porque a escalas de ese tamaño, las desviaciones relativamente pequeñas de la distribución de la materia de las superficies de potencial constante dan lugar a un enorme esfuerzo cortante que las rocas, sin importar cuán duras y sólidas, no pueden resistir. Es por eso que el modelo líquido es una aproximación válida (pero no he hecho ningún número al respecto).

NOTA: Hemos supuesto que cualquier punto pertenece a una superficie esférica que está completamente llena de materia, por lo que la energía potencial gravitacional es la misma que si toda la materia dentro de esa esfera estuviera ubicada en el centro de la Tierra. Si la Tierra fuera mucho más plana, esta aproximación no sería válida.

La explicación de la ovalidad de la superficie terrestre es bastante ilustrativa pero necesita más detalles para predecir la geometría de la superficie real. Debido a las amplias variaciones en la densidad de la tierra de un punto a otro, la proporción de la atracción gravitacional y la fuerza centrífuga sobre diferentes elementos de masa

$$dm=\rho\,dv$$ varió de un punto a otro. Si se tiene en cuenta este hecho, la superficie de la tierra no será una superficie matemática, sino que la parte de la tierra que tenga mayor densidad emergerá para formar montañas y la parte con menor densidad se hundirá para acomodar el agua condensada del globo. Los llamamos mar y océano.

Esto también implica que el área debajo del océano tendrá materiales más livianos como carbón, petróleo, etc. y aquellos debajo de las montañas tendrán elementos pesados ​​como oro, platino, etc. Esto y los depósitos de alubio (en algunos lugares sobre escamas de esquisto) implican claramente que toda el agua de los océanos actuales se había condensado y volado a través de los valles en pocos días para formar ríos y mares, cuando las temperaturas ambientales de la Tierra habían descendido a la temperatura de condensación.

Generemos datos de variación de densidad y realicemos los cálculos para predecir la geometría real de la superficie terrestre o viceversa.