¿La ley de Ohm es válida para todas las frecuencias?

A partir de la ecuación de continuidad y la ley de Ohm es posible decir que:

∇ ⋅ ( σ mi ) = − ∂ ρ ∂ t ⇒ − ∂ ρ ∂ t 1 σ = ∇ ⋅ mi
y usando la ley de Gauss:
− ∂ ρ ∂ t 1 σ = ρ ϵ 0
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, por lo que su solución viene dada por:
ρ ( r , t ) = ρ ( r , 0 ) mi − σ t ϵ 0
De esa expresión podemos decir que ρ → 0 como t aumenta, pero también lo hará su derivada, por lo que volviendo a la ecuación de continuidad:
∇ ⋅ j = − ∂ ρ ∂ t → 0
Para los buenos directores, esto parece significar que en prácticamente nada de tiempo
∇ ⋅ j ≈ 0
Esta es una de las suposiciones para la aproximación cuasiestática, pero que yo sepa, esto no siempre es cierto, por ejemplo, cuando se trabaja a frecuencias muy altas. Pero todos los pasos realizados en la derivación fueron independientes de la frecuencia de mi , entonces, ¿por qué esto no se aplica a todas las frecuencias? Mi intuición me dicta que el problema sería la ley de Ohm, que puede no ser válida para frecuencias muy altas ya que la conductividad comienza a comportarse de manera diferente (parte imaginaria), sin embargo, me han dicho que para casi todas las aplicaciones prácticas la conductividad coincide con su valor de CC, por lo que se puede aplicar la ley de Ohm, ¿no es cierto? y si lo es, cuando no se puede decir que ∇ ⋅ j ≈ 0 ?

El modelo Drude clásico ( en.wikipedia.org/wiki/Drude_model ) muestra que la conexión entre el campo eléctrico y la corriente tiene una parte compleja que depende de la frecuencia. (Felicitaciones a DocScience y DanielSank por enviarme a mis notas antiguas). (Veo que Thomas ha respondido más completamente que mi comentario).

Respuestas (2)

Sí, la ley de Ohm es válida en frecuencia finita

j ( ω ) = σ ( ω ) mi ( ω ) .
Esta es simplemente una relación de respuesta lineal, por lo que la única suposición es la de un campo suficientemente débil. Una aproximación típica para σ ( ω ) es la forma Drude
σ ( ω ) = σ 0 1 + i ω τ
lo cual no es exacto, pero válido en la teoría cinética. De hecho, en muchas aplicaciones típicas puede ignorar la dependencia de la frecuencia, porque la escala de tiempo se establece mediante un tiempo de colisión microscópico. τ ∼ τ C o yo yo . Tenga en cuenta que en tiempo real, la respuesta dependiente de la frecuencia se convierte en una integral de convolución
j ( t ) = ∫ d t ′ GRAMO ( t − t ′ ) mi ( t ′ ) .
dónde GRAMO es la función retardada (o de respuesta), la transformada unilateral de Fourier de σ ( ω ) .

Con respecto a tus manipulaciones: creo que ∇ ⋅ j = 0 es de hecho una buena aproximación, y que la corrección principal surge de las no localidades en la respuesta que son importantes para frecuencias altas y longitudes de onda cortas (en comparación con frecuencias de colisión y caminos libres medios). Un problema típico que encuentra discutido en el libro de texto sobre EM es el efecto de piel. De hecho, la profundidad de la piel d = 2 / ( m ω σ ) se rige (aproximadamente) por la conductividad de CC σ ( m es la permeabilidad).

donde debo presentar el ∂ B / ∂ t ¿término? Solo estoy conectando la relación de ohmios en la ecuación de continuidad para encontrar la densidad de carga y relacionarla con la divergencia de la corriente. Mi objetivo es comprender cómo, a frecuencias muy altas, donde tenemos un efecto de propagación (es decir, los campos E no son los mismos para todas las partes del circuito, y tampoco lo es la densidad de corriente), la densidad de carga del volumen también llega a 0. ¿Dónde puedo encontrar la densidad de carga resultante de la diferencia del flujo de densidad de corriente?
mi error, entendí mal lo que estabas tratando de hacer.
Entiendo que el título que he elegido para la pregunta puede ser muy engañoso. Lo siento por eso. Con respecto a mi pregunta, me han señalado que la densidad de carga que estoy buscando puede ser una densidad de carga superficial en lugar de una de volumen, ¿es correcto este razonamiento?
Creo que la corrección principal surge de hecho de que la ley de Ohm se vuelve gno-local en el espacio y el tiempo. Esta no es una densidad de carga superficial, pero se vuelve importante en el régimen de alta frecuencia donde la corriente no penetra mucho (debido al efecto pelicular). Para estimar estos efectos, debe ir más allá de las ecuaciones de Maxwell y estudiar la corriente en una teoría más microscópica, como la teoría cinética.

Si asume que la única propiedad del material es la conductividad, entonces sí. La ley de Ohm es válida en todas las frecuencias.

Pero sabemos que los materiales reales tienen propiedades de capacitancia e inductancia, así como de conductancia, y que también dependen de la geometría y del material en sí. Entonces, en este caso, no, debe incluir modelos físicos adicionales que aborden estas propiedades.

En general, la impedancia, que abarca la capacitancia, la inductancia y la conductancia, cambiará según la frecuencia.

@ZeroTheHero La capacitancia depende de ϵ y geometría del conductor.
Entonces, ¿es correcto decir que para un material que solo tiene la conductividad como propiedad ∇ ⋅ j ≈ 0 para todas las frecuencias? si es así, ¿cuándo no se aplicaría la ley actual de Kirchhoff (LCK)? Pensé que la hipótesis era la divergencia nula de la densidad de corriente.
@diegobatt sin capacitancia, inductancia, un material hipotético permitiría que los electrones viajaran con una velocidad ilimitada; Bueno, en realidad no, no más rápido que C . ¿Las ecuaciones de campo de Maxwell imponen ese límite en este caso? ¿O necesitamos la reformulación de Einstein? También sin capacitancia, inductancia sin componente de 'almacenamiento' de energía en el material. KCL siempre debe aplicarse de acuerdo con las leyes de conservación.
Creo que estás confundiendo algunas cosas: la conductividad es una relación local entre la densidad de corriente y el campo eléctrico. Se necesita (es decir, una entrada) para resolver las ecuaciones de Maxwell en un material. La capacitancia, la inductancia, etc. son propiedades globales de alguna disposición de conductores. Están determinados por la solución de las ecuaciones de Maxwell (es decir, una salida).
¿La ley de Ohm es válida para todas las frecuencias?
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