¿Por qué hay una densidad de corriente finita pero una densidad de carga libre cero dentro de una resistencia en CC?

Si tomamos una resistencia (imaginemos cilíndrica) en CC (estado estacionario), tenemos que el campo eléctrico sigue la ley de Ohm:

j F = σ mi . dónde j F es la densidad de corriente de electrones libres.

Como está en estado estacionario, también se deduce de la ecuación de continuidad que ∇ ⋅ j F = 0

Poniendo la primera ecuación dentro de la segunda obtenemos para un medio homogéneo que: ∇ ⋅ ( σ mi ) = 0 , por eso ∇ ⋅ mi = 0 , por lo tanto de acuerdo con la ley de Gauss ∇ ⋅ mi = ρ F / ϵ = 0 .

En otras palabras, en estado estacionario, la carga libre dentro de una resistencia es cero.

El gran problema es que, según cualquier libro que haya leído (aunque no se ha dado una razón matemática), la densidad de carga y el campo eléctrico son espacialmente uniformes dentro de una resistencia en CC.

Todavía, j = ρ F V (dónde ρ F es la densidad de carga libre), y dado que ρ F = 0 , j y mi debería ser cero

como puedo mi y j ser distinto de cero y uniforme en estado estacionario, si las ecuaciones anteriores indican que deben ser cero?

Respuestas (4)

Todavía, j = ρ F V (dónde ρ F es la densidad de carga libre), y dado que ρ F = 0 , j y mi debería ser cero

El problema con el que te encuentras es que esta afirmación no es realmente correcta. En realidad debería ser: j F = Σ ρ i V i (dónde ρ i es la densidad de carga del i-ésimo tipo de carga libre y V i es su velocidad de deriva).

En un conductor metálico típico, tendrá un negativo muy grande. ρ mi yo mi C t r o norte con un muy pequeño V mi yo mi C t r o norte . Tendrás un positivo igualmente grande ρ pag r o t o norte con V pag r o t o norte = 0 . Tenga en cuenta que a pesar de que los protones están fijos en su lugar, todavía se consideran cargas libres. Esto se debe a que no forman dipolos con una carga global neutra. Las cargas unidas son en general neutras pero con un momento dipolar que puede polarizarse.

En un electrolito como una solución de cloruro de sodio, tendrá una negativa ρ C yo − y de igual magnitud pero positiva ρ norte a + cada uno con sus propias velocidades apuntando en direcciones opuestas.

Dado que los diferentes tipos de carga gratuita tendrán diferentes velocidades, no puede simplemente agruparlos todos juntos como intentó hacer su expresión.

Gracias, esta es la respuesta que estaba buscando. De hecho, mi error fue no considerar los agujeros inmóviles (velocidad cero) que dejan los electrones en el conductor como "carga gratuita". No solía pensar en ellos como gratuitos ya que no se pueden mover. La mayoría de los libros solo mencionan los electrones como carga gratuita y, por lo tanto, el origen de mi error. Siempre pensé en ellos como cargos acotados. De hecho, me di cuenta de mi error al leer el libro "Electromagnetic Fields and Energy" de Haus, no puedo recomendarlo lo suficiente. Se puede encontrar en línea en el siguiente enlace: web.mit.edu/6.013_book/www/body.html
@Daniel Rodríguez dijo: “Siempre pensé en ellos como cargos limitados”. Sí, creo que eso es común. Agregaré un párrafo explicando eso.
Nitpick: la velocidad de deriva de una especie de ion en un electrolito está determinada por su movilidad eléctrica m . Específicamente, v → d = m mi → . La movilidad eléctrica varía según la masa y el tamaño físico del ion. Esto significa que las velocidades de deriva de diferentes especies de iones en una solución generalmente no son las mismas, como lo implica su penúltimo párrafo.
@MichaelSeifert tienes toda la razón. Gracias por la captura. Lo corregiré de inmediato.

ρ es cero dentro de una resistencia, porque las cargas positivas y negativas se cancelan entre sí. j es distinto de cero ya que solo los electrones hacen el movimiento.

Has expresado mal la ley de Gauss.

La ley de Gauss se puede escribir como

∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0
dónde ρ es el cargo total (no el cargo gratuito); o como
∇ ⋅ D = ρ F
dónde D es el campo de desplazamiento eléctrico y ρ F es el cargo gratuito.

Entonces no tenemos 0 cargos gratis (si los tuviéramos, σ sería cero), tenemos 0 carga total, incluidas las cargas libres (portadores actuales) y fijas (protones nucleares).

Solo tiene razón parcialmente, de hecho, la carga total también es cero, pero su segunda ecuación de la ley de Gauss es incorrecta. La forma correcta es d i v ( D ) = ρ F . Ahora para un material homogéneo lineal D = ϵ mi , y sacando épsilon de la divergencia, puede escribir la ley de Gauss como d i v ( mi ) = ρ F / ϵ .
Después de que finalmente entendí la respuesta a mi pregunta, quería aclarar algo en su comentario para futuros lectores con la misma pregunta. Efectivamente la carga total es cero como pones. Sin embargo, también el cargo gratuito NETO es cero. Como se señaló anteriormente, esto significa que la densidad de electrones y huecos se cancelan entre sí. Sin embargo, la densidad de corriente es solo proporcional a la densidad de electrones, por lo que podemos tener una carga libre neta cero y una densidad de corriente finita.

En un conductor que transporta corriente (con cualquier cantidad de resistencia), la densidad de electrones libres y la densidad de carga total no son constantes. Una fuente de alimentación toma electrones del extremo positivo y los coloca en el extremo negativo. En un conductor uniforme, una corriente uniforme requiere un campo eléctrico uniforme, lo que implica un gradiente uniforme en la densidad de carga. La ley de Gauss nos dice que un campo uniforme puede ser producido por una o más láminas infinitas de carga. Claramente, no tenemos eso en el circuito eléctrico. Entonces la pregunta se vuelve; ¿Qué tipo de distribución de carga puede mantener un campo casi uniforme dentro de una longitud de cable que puede tener múltiples dobleces, curvas o bucles? Cada segmento corto de alambre debe ver más carga más allá de un extremo que del otro. Esto requiere una distribución no uniforme de la carga a lo largo del cable. Luego, cada uno de esos segmentos (excepto uno cerca del centro) debe contener una carga neta. Pero el flujo que entra por un extremo debe ser igual al que sale por el otro. Esto significa que un segmento con una carga neta + debe tener flujo saliendo por el lado del cable, y uno con carga negativa tendrá flujo entrando por el lado. Estos componentes participarán en la divergencia del campo y provocarán un desplazamiento radial en la distribución de electrones libres.

Esta respuesta trata sobre las corrientes de difusión, pero la corriente en una resistencia típica es la corriente de deriva.
Una corriente de deriva requiere un campo eléctrico y un campo eléctrico uniforme en un conductor requiere un gradiente de densidad de carga.
Un gradiente de densidad de carga uniforme produciría una variación cuadrática del campo eléctrico, según la ley de Gauss.
La ley de Gauss es tan válida en un conductor como en cualquier otro lugar. La única forma de obtener un campo eléctrico uniforme es con una densidad de carga neta cero (lo que significa también un gradiente cero de densidad de carga). En su escenario (densidad de carga que varía a lo largo del cable), ¿cómo resuelve la ley actual de Kirchhoff? ¿Varía también la velocidad de carga a lo largo del cable para compensar el cambio de densidad de carga?
La ley de Gauss siempre es válida, el problema es elegir una superficie cerrada para la que puedas calcular el flujo. Tenga en cuenta que hay campos eléctricos que salen (o entran) de los lados de un cable que lleva corriente. Su comentario final parece ser un buen punto. El campo y la velocidad de deriva deberán ser mayores cerca del extremo positivo del cable, donde el número de electrones libres es menor, para mantener la continuidad del flujo de corriente. Este efecto es aparentemente bastante pequeño.
Basta con considerar la forma microscópica de la ley de Gauss ( ∇ ⋅ mi = ρ ε 0 ) entonces no tiene que preocuparse por la superficie gaussiana con la que está trabajando.
Vea la adición a mi respuesta anterior.
¿Por qué hay una densidad de corriente finita pero una densidad de carga libre cero dentro de una resistencia en CC?
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