¿La fuerza magnética como un efecto relativista?

Respuesta corta: si desea analizar las cosas en el marco de reposo de los electrones en el cable A (cuyos electrones se mueven a menos de la mitad de la velocidad, en relación con el cable, que los electrones en el cable B), debe tener en cuenta no solo la fuerza eléctrica sobre los electrones en el cable A, que será repulsivo como dices, pero también la fuerza eléctrica sobre las cargas positivas (los iones que han perdido electrones) en el cable A, junto con la fuerza magnética sobre las cargas positivas en alambre A, que se mueven en este marco. Cuando hice esto en un ejemplo numérico a continuación, encontré que la fuerza neta en el cable A era atractiva a pesar de que la fuerza eléctrica en los electrones era repulsiva.

Respuesta larga: la velocidad promedio de los electrones en los conductores es bastante lenta, pero veamos un ejemplo en el que las velocidades son grandes para que los números sean un poco más fáciles: digamos que en el cable A los electrones se mueven a$\sqrt{0.0199}c$= 0,14106736c en relación con el marco de descanso del cable (el número elegido para que el espacio se reduzca exactamente 0,99 debido a la contracción de Lorentz, y en el cable B se mueven a$\frac{(0.6 + \sqrt{0.0199})c}{1 + 0.6\sqrt{0.0199}}$= 0.68323783c (este número elegido para hacer que la suma de velocidades funcione bien a continuación). Entonces, el cable en sí se mueve a v = -0.14106736c en el marco de los electrones en el cable A, y los electrones en el cable B se mueven en u = 0.68323783c en relación con el cable en sí, por lo que podemos usar la fórmula de suma de velocidades para encontrar la velocidad de los electrones en el alambre B en el marco del alambre A:$(v + u)/(1 + vu/c^2)$= (-0,14106736c + 0,68323783c)/(1 - 0,14106736*0,68323783) = 0,6c. Esto significa que el espaciado de los electrones en el cable B se reducirá en un factor de$\sqrt{1 - 0.6^2}$= 0,8 en el marco del cable A.

Si la densidad de carga lineal de las cargas positivas en el marco de descanso de cada alambre es$\lambda$, entonces en el marco de los electrones en el cable A, la densidad de carga positiva en el cable B es$\lambda_{B+} = \lambda / 0.99$y la densidad de carga negativa en el alambre B es$\lambda_{B-} = -\lambda / 0.8$. Mientras tanto, en este mismo marco, la densidad de carga lineal de los electrones en el cable A es solo$\lambda_{A-} = -\lambda$y la densidad de cargas positivas en el alambre A es$\lambda_{A+} = \lambda / 0.99$. La fuerza de atracción por unidad de distancia en una carga lineal debida a otra carga lineal a la distancia d es$- \lambda_1 \lambda_2 / 2 \pi \epsilon_0 d$, por lo que la fuerza/longitud de atracción total sobre las cargas negativas en el cable A, debido a las cargas positivas y negativas en el cable B, es$-(\lambda_{A-}\lambda_{B-} + \lambda_{A-}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$=$-((\lambda^2/0.8) + (-\lambda^2/0.99))/2 \pi \epsilon_0 d$=$- (0.19/0.792) \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$=$- 0.2399 \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$. Y la fuerza/longitud de atracción total sobre las cargas positivas en el cable A, debido tanto a las cargas positivas como a las negativas en el cable B, es$-(\lambda_{A+}\lambda_{B-} + \lambda_{A+}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$=$-(\lambda_{A+}\lambda_{B-} + \lambda_{A+}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$=$-((-\lambda^2/0.792) + (\lambda^2/0.9801)) /2 \pi \epsilon_0 d$=$(0.1881/0.7762392) \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$=$0.2423 \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$. Así que puedes ver aquí que la fuerza de atracción neta sobre las cargas positivas en el cable A es en realidad ligeramente mayor que la fuerza de repulsión neta sobre las cargas negativas en el cable A.

Entonces, para estar seguros de si el alambre A será atraído o rechazado por el alambre B cuando analicemos las cosas en este marco, también necesitamos calcular la fuerza de Lorentz por unidad de longitud sobre las cargas positivas en el alambre A. Para una corriente de línea, corriente = (carga por unidad de longitud) * (velocidad de las cargas), por lo que la corriente debida a las cargas positivas en el cable A, que se mueven a -0,14106736c en este marco, es$\lambda_{A+} * -0.14106736c$=$-0.14249228 \lambda c$. Esta es también la corriente debida a las cargas positivas en el cable B en este marco. Y la corriente debida a las cargas negativas en el cable B, que se mueven a +0,6c en este marco, sería$\lambda_{B-} * 0.6c$=$-0.75 \lambda c$. Entonces, en este marco, la corriente total en el cable A es$-0.14249228 \lambda c$y la corriente total en el cable B es$(-0.14249228 - 0.75) \lambda c$=$-0.89249228 \lambda c$. Entonces, sin siquiera calcular la fuerza/longitud, podemos ver que la fuerza magnética será atractiva, ya que las corrientes en la misma dirección en cables paralelos hacen que los cables se atraigan magnéticamente. Para calcular las matemáticas, la fuerza de atracción por unidad de longitud para dos cables rectos paralelos a una distancia d con corrientes$I_1$y$I_2$es$\mu_0 I_1 I_2 / (2 \pi d)$, por lo que en este caso la fuerza de atracción sería$\mu_0 0.12717326 \lambda^2 c^2 / (2 \pi d)$.