La energía de un gravitón

Se supone, pero no se mide, que e = hw. Ver esta referencia sobre la dificultad de medir un solo gravitón. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0601043

Es un ejercicio interesante calcular la cantidad y la longitud de onda de los gravitones de una manzana que cae. Como primera aproximación, se pueden calcular las ondas gravitatorias emitidas por una manzana que orbita alrededor de la Tierra y usar las fórmulas desarrolladas para agujeros negros binarios y estrellas de neutrones por los experimentos LIGO VIRGO, etc. En órbita terrestre baja, la manzana irradiará a una longitud de onda de aproximadamente 90 minutos luz, más o menos un factor de dos. Esto es muy aproximadamente 10 ^ 12 metros. Cada gravitón transportará alrededor de 10^-30 ergios, una cantidad muy pequeña. De acuerdo con el artículo de ondas gravitacionales de Wikipedia, el sistema sol-tierra emite 200 vatios de radiación gravitatoria, pero normalmente emitiría 10^-34 erg gravitones. 200 vatios son 2 10 ^ 9 erg segundos, por lo que el sistema sol-tierra emite 10 ^ 43 gravitones por segundo. Usando la fórmula del artículo de Wikipedia, el sistema tierra-manzana con una manzana de un décimo de kilogramo emitiría 10^46 veces menos potencia de onda gravitatoria, o 10^-42 vatios o 10^-35 ergios/segundo. Esto implica un promedio de un gravitón cada 10^5 segundos, o aproximadamente una vez cada veinte órbitas de 5400 segundos. Si la manzana que cae cae durante aproximadamente un segundo, debería emitir un gravitón una vez cada cien mil intentos. Para ser más análogo a la imagen orbital, su manzana debe lanzarse horizontalmente como una pelota de béisbol, en lugar de caer verticalmente. debería emitir un gravitón una vez cada cien mil intentos. Para ser más análogo a la imagen orbital, su manzana debe lanzarse horizontalmente como una pelota de béisbol, en lugar de caer verticalmente. debería emitir un gravitón una vez cada cien mil intentos. Para ser más análogo a la imagen orbital, su manzana debe lanzarse horizontalmente como una pelota de béisbol, en lugar de caer verticalmente.

Este es el caso con una advertencia: solo funciona para una teoría linealizada débil. Si los gravitones son una pequeña perturbación de campo sobre un fondo plano en una ecuación de campo lineal de Einstein, este es el caso. En general, esto es menos seguro. La energía no es localizable en la relatividad general. Entonces, lo que estoy a punto de esbozar a continuación es una gravedad cuántica lineal para gravitones de longitud de onda larga en el límite IR.

Una onda de gravedad es una perturbación en una métrica de fondo$\eta_{ab}$con la métrica total

$$g_{ab}~=~\eta_{ab}~+~h_{ab}.$$ La métrica de fondo plano tiene una curvatura de Ricci cero, de modo que al primer orden en la expansión de la perturbación $$R_{ab}~=~\delta R_{ab},$$ que entra en la ecuación de campo de Einstein $R_{ab}~-~1/2Rg_{ab}~=~\kappa T_{ab}$, dónde $\kappa~=~8\pi G/c^4$es la muy pequeña constante de acoplamiento entre la fuente de cantidad de movimiento y la configuración o campo del espacio-tiempo. La curvatura de Ricci a primer orden es entonces $$R_{ab}~=~{1\over 2}\Big(\partial_c\partial_a{h^c}_b~+~\partial_c\partial_b{h^c}_a~-~\partial_a\partial_bh~-~\partial_c\partial^ch_{ab}\Big).$$ A dentro de primer orden el calibre armónico $\partial_c{h^c}_a~=~1/2\partial_mu h$la ecuación de campo de Einstein da $$\partial^c\partial_ch_{ab}~-~\frac{1}{2}\eta_{ab}\partial^c\partial_ch~=~{{16\pi G}\over c^4}T_{ab},$$ que está bien definido para el término métrico sin rastro ${\bar h}_{ab}~=~h_{ab}~-~{1\over 2}\eta_{ab}h$con la ecuación de onda simple $$\partial^c\partial_c{\bar h}_{ab}~=~{{16\pi G}\over c^4}T_{ab}.$$

Para la onda en el vacío, la fuente de energía de cantidad de movimiento se establece en cero y la ecuación de onda es$\partial^c\partial_c{\bar h}_{ab}~=~0$. Este es un análogo bivectorial de la ecuación de onda simple para una onda electromagnética en el espacio libre. La onda es una onda transversal sin rastro.$h_{ab}~=~A^{TT}_{ab}exp(ik_cx^c)$con

$$A^{TT}_{ab}~=~\left(\matrix{0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & A_{xx} & A_{yx} & 0\cr 0 & A_{xy} & -A_{xx} & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 }\right).$$ Los términos $A_{xx}$y $A_{xy}$representan una dirección de polarización. La onda de gravedad linealizada tiene entonces una helicidad de dos, que tiene su análogo cuántico en el estado difotónico en la óptica cuántica.

El análogo con un fotón en esta aproximación linealizada es para la perturbación métrica$h_{ab}~=~\phi^c_a\phi_{bc}$expandido según un campo. Para llevar esto adelante, ampliemos el campo.$\phi^a_b$según operadores de osciladores armónicos$b,~b^\dagger$. A continuación, los campos se expanden como

$$\phi^a_b~=~\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_k E^a_b (b(k)e^{i\theta(k)} + b^\dagger e^{-i\theta(k)})$$ dónde $E^a_b$tétrada, que se analiza más adelante. La perturbación métrica es entonces $$\phi^a_c\phi_{cb}~=~\frac{1}{2}\sum_{kk’}\eta^a_b(b(k)b^\dagger(k’)e^{i\theta(k) – i\theta(k’)}~+~b^\dagger(k)b(k’) e^{-i\theta(k’) – i\theta(k)})$$ $$+~\frac{1}{2}\sum_{kk’}\eta^a_b(b(k)b^(k’)e^{i\theta(k)+i\theta(k’)}~+~b^\dagger(k)b^\dagger(k’)e^{-\theta(k)-i\theta(k’)}),$$ El primero de estos términos es una onda giratoria, mientras que el segundo es contrarrotante. En aras de la simplicidad, ignoramos esto por ahora. El operador laplaciano en el primer término da una ecuación de onda en términos de estos campos, y el hamiltoniano es $H~=~\partial_d\phi^c_a\partial^d\phi_{bc}$es una suma superior $\sim~\hbar\omega$términos. El lector puede completar los detalles.