¿La ecuación de Maxwell describe un solo fotón o un número infinito de fotones?

Debido a que los fotones no interactúan, con muy buena aproximación para frecuencias inferiores a$m_e c^2 / h$($m_e$= masa del electrón), la teoría para un fotón se corresponde bastante bien con la teoría para un número infinito de ellos, en lo que respecta a la simetría módulo Bose-Einstein. Esto es similar a la mayor parte de la teoría estadística de los gases ideales que se puede derivar al observar el comportamiento de una sola partícula de gas en la teoría cinética.

Dicho de otra manera, el comportamiento del fotón único$\leftrightarrow$La correspondencia de las ecuaciones de Maxwell solo se mantiene si observa la versión transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell. La versión real del espacio-tiempo de las ecuaciones de Maxwell requeriría observar una superposición de un número infinito de fotones, una forma de describir la transformación inversa de Fourier.

Si quiere pensar en términos de diagramas de Feynman, el electromagnetismo clásico se describe mediante un subconjunto de diagramas de nivel de árbol, mientras que la teoría cuántica de campos requiere tanto el nivel de árbol como los diagramas que tienen bucles cerrados. Es el hecho de que los fotones de partículas de menor masa pueden producir un circuito cerrado al interactuar con el electrón, lo que evita que los fotones se dispersen entre sí.

En resumen: ambos son incorrectos por no incluir problemas de corte de frecuencia (producción de pares), y ambos tienen razón si toma el corte de alta frecuencia como un hecho, dependiendo de cómo mire las cosas.

¿La ecuación de Maxwell describe un solo fotón o un número infinito de fotones?

Ambas cosas.

(i) La función de onda de un solo fotón es una solución de las ecuaciones libres de Maxwell en el vacío, y cualquier solución distinta de cero de las ecuaciones libres de Maxwell en el vacío es una posible función de onda de un solo fotón.

(ii) El modo de un estado coherente de (arbitrariamente muchos) fotones es una solución de las ecuaciones libres de Maxwell en el vacío, y cualquier solución distinta de cero de las ecuaciones libres de Maxwell en el vacío es un modo posible de un estado coherente de fotones. (La solución cero corresponde al estado coherente de intensidad cero, generalmente llamado estado de vacío).

Para obtener detalles completos, consulte la entrada ''¿Qué es un fotón?'' en el Capítulo B2 de mis Preguntas frecuentes sobre física teórica .

Lo anterior se sigue fácilmente del sector electromagnético puro de QED (es decir, sin importar el presente). Se necesita toda la fuerza de QED para describir correctamente las interacciones de los fotones con los electrones y otra materia cargada a nivel microscópico.

De manera más general, para cualquier teoría del campo bosónico libre (relativista o no) existe una correspondencia 1-1 entre los modos de estados coherentes y los vectores de estado (funciones de onda) del espacio de Hilbert de 1 partícula de la teoría.

Creo que los autores están combinando descuidadamente dos ideas bastante distintas en una sola oración.

La primera mitad de la oración, "La teoría de Maxwell puede considerarse como la teoría cuántica de un solo fotón", se refiere al hecho de que el único vértice de nivel de árbol de QED involucra un fotón que interactúa con un electrón/positrón. Entonces, como dijo Sean Lake, la QED a nivel de árbol es lineal en amplitudes de fotones, en el sentido de que los fotones no pueden dispersarse entre sí (porque hacerlo requiere el intercambio de bucles cerrados de electrones virtuales), y en este límite clásico a nivel de árbol el la dinámica de los fotones se describe mediante las ecuaciones de Maxwell.

En la segunda mitad de la oración, "la óptica geométrica [puede considerarse] como la mecánica clásica de este fotón", cuando los autores dicen "fotón" en realidad se están refiriendo al concepto mucho más antiguo de un corpúsculo . En el límite de alta frecuencia, más precisamente, el límite donde la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que el tamaño de los objetos que se dispersa, las ecuaciones de Maxwell se reducen a la teoría mucho más simple de la óptica geométrica o de rayos , en la que los rayos de luz simplemente viaja en línea recta y se puede pensar que es transmitido por partículas mecánicas clásicas discretas llamadas "corpúsculos". Estas partículas son muy diferentes de los fotones, ya que son completamente clásicas y no tienen ningún tipo de naturaleza ondulatoria.

Entonces, de hecho, un solo fotón a una frecuencia muy alta es técnicamente similar a un corpúsculo newtoniano. Pero esto no es muy útil, porque si hay incluso otro fotón (que, de manera realista, habrá), entonces los fotones intercambiarán electrones virtuales y se dispersarán de una manera muy poco clásica. La forma más natural de obtener óptica geométrica es hacer que una gran cantidad de fotones se propaguen en un estado coherente semiclásico (de modo que, como dice Sakurai, puede ignorar su naturaleza discreta), con una longitud de onda que es pequeña en comparación con el tamaño de la dispersión. objetos (para que pueda ignorar el comportamiento ondulatorio clásico de las ecuaciones de Maxwell) pero grandes en comparación con la longitud de onda Compton de electrones (para que pueda ignorar los efectos de dispersión QED).

¿La ecuación de Maxwell describe un solo fotón o un número infinito de fotones?

Cuando se interpreta como una ecuación clásica donde E y B son campos clásicos, describen la envolvente emergente de millones de fotones.

Cuando las soluciones E y B de las ecuaciones de Maxwell se consideran como parte de la función de onda imaginaria, describen la función de onda de un solo fotón.

Esto explica por qué los fotones individuales en superposición , es decir, como superposición de funciones de onda, pueden construir el campo clásico ya que son las mismas soluciones, diferentes interpretaciones.

Cuando se detecta un solo fotón, se obtiene la energía, el giro y la probabilidad de ser encontrado en ese (x, w, z). El conjunto de fotones da los campos E y B clásicos, como se explica en el primer enlace.

QED es necesario para describir las interacciones de partículas de fotones. (Después de todo, no hay interacción de fotones sin interacciones de partículas de fotones).

Aquí hay un enfoque para visualizar por qué ambas afirmaciones son válidas.

Feynman mostró en su versión de QED que la forma más fundamental de evaluar hacia dónde viajará un fotón (o cualquier partícula) en el futuro es calcular cada camino posible que podría tomar, luego agregar todos estos caminos futuros de fase compleja para que el las fases a lo largo de cada camino pueden sumar o restar. Esto hace que las rutas que están en fase de manera más consistente terminen dominando, mientras que otras rutas se desvanecen a medida que sus fases se suman caóticamente a más o menos cero.

En el caso de un fotón, esta suma de un número infinito de trayectorias de fotones "podrían haber sido" da, en una primera aproximación muy buena, un conjunto de funciones de onda cuyas probabilidades se parecen mucho a las intensidades de campo que se obtienen usando las ecuaciones de Maxwell. .

De eso es de lo que habla Gloge cuando afirma que las ecuaciones de Maxwell resumen muy bien los resultados predichos por QED para un solo fotón. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell no dan el mecanismo de por qué debería ser así. QED revela este nivel más profundo a través de su integral de todas las historias posibles, y así permite una mejor comprensión de una gama mucho más amplia de fenómenos.

Vale la pena señalar que si un solo fotón no se comportara como un conjunto infinito de fotones que exploran todos los caminos futuros posibles en paralelo, estarías completamente ciego e incapaz de leer estas palabras. Un fotón verdaderamente similar a una partícula que no puede percibir el espacio más grande que lo rodea se dispersaría como una bola de pinball en el laberinto de átomos y moléculas que es su córnea y lente ocular. Sin la capacidad de explorar todos los caminos posibles y, por lo tanto, de "ver" la estructura a gran escala de su ojo, un fotón ni siquiera podría entrar en su ojo, y mucho menos ser enfocado por la córnea y el cristalino hasta un solo punto en su retina.

Puede interpretar esta perspectiva más amplia de dos maneras: como una integral de estilo QED de todas las posibles historias de partículas de fotones, o como el resultado cuantificado de una onda electromagnética insoportablemente débil sujeta a las ecuaciones de Maxwell, con su ecuación reinterpretada como una probabilidad una vez que el campo se vuelve tan débil que solo se pueden formar a partir de él cuantos individuales de energía.

En cuanto a la perspectiva de Sakurai, su punto es simplemente que puedes "llenar" el número infinito de caminos de fotones posibles con suficiente energía para convertir un subconjunto de ellos en fotones reales. Esto se ve favorecido por el hecho de que los fotones son bosones y, por lo tanto, pueden compartir la misma función de onda.

El proceso de agregar energía a una función de onda de fotones es bastante abierto, pero tiene un límite mínimo: un fotón. Después de eso, puede agregar suficiente energía emitida para crear dos fotones al llegar, o tres, o un número enorme, como los fotones en un rayo láser. Realmente hace poca diferencia para los casos ordinarios, ya que todos terminan siguiendo el mismo paquete infinito de posibles historias futuras. Más energía solo permite más estallidos de fotones en el extremo del receptor, hasta que todos comienzan a fusionarse en lo que consideramos un haz de luz.

Una última nota, que se cubrió muy bien en una de las otras respuestas: hay límites en los que algunas de las suposiciones simplificadoras comienzan a fallar. Por ejemplo, no es estrictamente cierto que los fotones nunca interactúen entre sí. Es "suficientemente cierto" que los dominios de energía ordinarios hacen que esté bien ignorar la posibilidad. Sin embargo, si apuntas haces de luz lo suficientemente intensos entre sí, con al menos uno de ellos en el rango gamma, puedes conseguir que unos pocos fotones se aniquilen entre sí y produzcan pares de electrones y positrones. La simetría de inversión de tiempo requiere eso, ya que puedes hacer la interacción opuesta de colisionar un electrón y un positrón para crear dos rayos gamma.

Como sabemos, Maxwell ideó sus ecuaciones mucho antes del advenimiento de la mecánica cuántica. Entonces, las ecuaciones de Maxwell no pretendían describir fotones. En ese sentido, es en sí misma una teoría puramente clásica. No podría describir escenarios que representen un aspecto verdaderamente cuántico de la naturaleza. Sin embargo, ahora que conocemos los fotones, no es raro encontrar una superposición entre la ecuación de Maxwell y la física cuántica. Entonces, ¿cuál es la relación?

El papel de la mecánica cuántica a menudo se exagera un poco, ya que se puede usar una descripción mecánica cuántica para situaciones que están perfectamente descritas por la física clásica. O, dicho de otro modo, las formulaciones matemáticas que usaríamos para describir la mecánica cuántica a veces también pueden usarse para describir escenarios clásicos. (Esto plantea la pregunta, ¿cuándo es algo intrínsecamente cuántico? Sin embargo, no estoy abordando esta pregunta aquí).

Entonces, cuando usamos las ecuaciones de Maxwell, en oposición a la electrodinámica cuántica , para describir una situación que de otro modo habríamos considerado como un escenario mecánico cuántico, entonces uno puede concluir que tal escenario no representa realmente los aspectos cuánticos de la naturaleza. Entonces, ¿qué escenarios son así? (Finalmente llego a la pregunta):

Hay dos escenarios en los que puedo pensar. El uno es el de un solo fotón. Pero hay que tener cuidado. No es el fotón en sí lo que se describe, sino la función de onda; en otras palabras, la amplitud de probabilidad de encontrar el fotón en un punto particular (o en un estado particular, para ser más generales). Así que si$|\psi\rangle$es un estado de un solo fotón, entonces uno puede expandirlo como

También se debe tener cuidado de excluir todas las interacciones en este escenario, porque las interacciones pueden introducir fenómenos cuánticos para los cuales las ecuaciones de Maxwell son inadecuadas para tratar. En este sentido, las ecuaciones de Maxwell describen la evolución de la función de onda, de la cual se considera que un fotón es una única excitación.

Habiéndolo descrito así, podemos permitir más excitaciones, siempre que impongamos ciertas restricciones. Todos los fotones deben estar en el mismo estado, lo que a su vez está permitido por su naturaleza bosónica. Sin embargo, esta restricción hace que sea desfavorable considerar fotones múltiples. La razón es que las superposiciones de múltiples fotones pueden introducir la noción de entrelazamiento no local , que es un aspecto verdaderamente cuántico de la naturaleza y, por lo tanto, no puede representarse en las ecuaciones de Maxwell. Esto también revela por qué las interacciones deben excluirse: pueden (y generalmente lo hacen) conducir a situaciones en las que uno puede encontrar un entrelazamiento cuántico.

Ahora para el otro escenario. Éste corresponde al caso en el que se quiere considerar un número infinito de fotones. Resulta que hay un tipo de estado cuántico que se llama estado coherente y que se considera lo más parecido a un estado clásico. Este estado es una superposición de todos los diferentes estados numéricos (estados de Fock ) desde un estado de un solo fotón hasta un estado que tiene un número infinito de fotones (sin embargo, este último viene con un coeficiente que es prácticamente cero). Todos los fotones en un estado coherente tienen las mismas propiedades en términos de sus otros grados de libertad, evitando así el problema del entrelazamiento cuántico.

Entonces, para resumir, diría que tanto Sakurai como Globe tienen razón. Simplemente consideraron diferentes escenarios.

¿Las ecuaciones de Maxwell describen un solo fotón o un número infinito de fotones?

Ninguno de los dos. Como dije, las ecuaciones de Maxwell son realmente las ecuaciones de Heaviside*. Y son anteriores al fotón, que surgió debido a la catástrofe ultravioleta . No describen la naturaleza cuántica de la luz. Si describieran un solo fotón, me estarías explicando qué es un fotón, y no puedes. ¿Y cómo pueden describir un número infinito de fotones? No hay un número infinito de fotones entrando en tu ojo o volando alrededor de un imán.

El artículo Gloge, Marcuse 1969: Formal Quantum Theory of Light Rays comienza con la frase: la teoría de Maxwell puede considerarse como la teoría cuántica de un solo fotón y la óptica geométrica como la mecánica clásica de este fotón .

no puede Si pudiera, Planck no habría necesitado haber llegado a la constante de Planck.

Eso me tomó por sorpresa, porque siempre pensé que las ecuaciones de Maxwell deberían surgir de QED en el límite de fotones infinitos de acuerdo con el principio de correspondencia de números cuánticos altos como lo expresó, por ejemplo, Sakurai (1967): El límite clásico de la teoría cuántica de radiación se logra cuando el número de fotones se vuelve tan grande que el número de ocupación también puede considerarse como una variable continua. El desarrollo espacio-temporal de la onda electromagnética clásica se aproxima al comportamiento dinámico de billones de fotones.

Lo siento, pero eso también está mal. Un electrón en un orbital emite un fotón. No trillones de fotones. Este fotón tiene una naturaleza E=hc/λ. Tiene una longitud de onda. Es una onda electromagnética. Entonces, una onda electromagnética no son billones de fotones.

¿No está la visión de Sakurai en contradicción con Gloge?

Está. Pero eso no quiere decir que ninguno de ellos tuviera razón.

¿La ecuación de Maxwell describe un solo fotón o un número infinito de fotones?

Lo primero, pero no lo describen lo suficiente porque no cubren la naturaleza cuántica de la luz. Vea esta respuesta mía para algo sobre eso.

¿O las ecuaciones de Maxwell describen un solo fotón y también un número infinito de fotones al mismo tiempo?

No.

Pero, ¿por qué necesitamos QED entonces?

Porque las ecuaciones de Maxwell no describen adecuadamente el fotón. O el electrón. ¿Puedes explicar cómo funciona un imán? No. Porque las ecuaciones de Maxwell no describen lo suficiente. Pero, de nuevo, QED tampoco describe el fotón, vea esta pregunta mía . Tampoco describe cómo los fotones interactúan con los fotones . Tampoco es la historia completa.

• _{Ver Wikipedia : "Las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell se pueden encontrar individualmente a lo largo de su artículo de 1861, derivadas teóricamente usando un modelo de vórtice molecular de las "líneas de fuerza" de Michael Faraday y en conjunto con el resultado experimental de Weber y Kohlrausch. Pero no fue así. hasta 1884 que Oliver Heaviside, al mismo tiempo que un trabajo similar de Josiah Willard Gibbs y Heinrich Hertz, agrupó las veinte ecuaciones en un conjunto de solo cuatro, a través de la notación vectorial.[3] Este grupo de cuatro ecuaciones se conocía como Hertz-Heaviside. ecuaciones y las ecuaciones de Maxwell-Hertz, pero ahora se conocen universalmente como ecuaciones de Maxwell".}