La densidad de energía del sol en comparación con un montón de compost

Tu intuición (de jardinero) está equivocada. Si aumenta el tamaño de su montón de compost al tamaño de una estrella, entonces su núcleo sería tan caliente como el del Sol. En igualdad de condiciones (aunque los montones de compost no son hidrógeno más helio), la temperatura de un montón de compost esférico solo dependería de su masa total dividida por su radio$^{*}$.

Para soportar el peso de todo el material anterior se requiere un gran gradiente de presión. Esto a su vez requiere que la presión interior de la estrella sea muy grande.

Pero, ¿por qué esta combinación particular de temperatura/densidad? Las reacciones nucleares en realidad evitan que el núcleo se caliente . Sin ellos, la estrella irradiaría desde su superficie y continuaría contrayéndose y calentándose aún más en el centro. Las reacciones nucleares suministran la energía suficiente para igualar la radiada desde la superficie y así evitar la necesidad de una mayor contracción.

Las reacciones nucleares se inician una vez que los núcleos alcanzan suficiente energía cinética (gobernada por su temperatura) para penetrar la barrera de Coulomb entre ellos. La fuerte dependencia de la temperatura de las reacciones nucleares actúa entonces como un termostato central. Si la velocidad de reacción aumenta, la estrella se expandirá y la temperatura central se enfriará nuevamente. Por el contrario, una contracción conduce a un aumento en la velocidad de la reacción nuclear y al aumento de la temperatura y la presión que actúan contra cualquier compresión.

$*$Esta relación surge del teorema del virial , que dice que para un fluido/gas que ha alcanzado el equilibrio mecánico, la suma de la energía potencial gravitatoria (negativa) y el doble de la energía cinética interna será igual a cero.

La energía cinética interna se puede aproximar como$3k_BT/2$por partícula (para un gas ideal monoatómico) y la energía potencial gravitacional como$-\alpha GM^2/R$, dónde$M$es la masa,$R$el radio y$\alpha$es un factor numérico de orden unidad que depende del perfil de densidad exacto. El teorema virial entonces se convierte en energía cinética total

Otra forma de ver que la densidad de energía del Sol debe ser bastante baja (o que grandes montones de compost se calientan mucho) y también ver la relación temperatura-radio es calcular cuál debería ser la temperatura de la superficie , para una densidad de energía dada.

Entonces, podemos modelar el Sol como una esfera con radio$R$, y una densidad de potencia de$\rho$. El volumen total del Sol es entonces

y la potencia total es

Entonces el área de la superficie del Sol es

Entonces, el flujo de energía a través de la superficie del Sol es

(Observe que esto va como$R$: cuanto más grande es la estrella, mayor es el flujo para una densidad de potencia dada).

Y podemos usar la ley de Stefan-Boltzmann que relaciona la temperatura de la superficie con el flujo, asumiendo que el Sol es un cuerpo negro.

Y juntando esto obtenemos

Dónde$T$es la temperatura de la superficie del Sol. Esta fórmula te dice que los objetos grandes que generan energía se calientan mucho más que los pequeños con la misma densidad de energía: la temperatura de la superficie es la cuarta raíz del radio.

Al conectar los números, esto da una temperatura superficial que es demasiado alta, de lo que concluyo que la densidad de potencia del Sol es, de hecho, mucho más baja que la cifra de Wikipedia: esa cifra es probablemente para la parte del Sol donde se está produciendo la fusión. solamente, no todo el volumen.

Si el montón era autogravitatorio, cuanto más grande fuera el montón, más cálido sería su centro. La idea detrás es que en el centro el material sentirá la presión ejercida por todas las capas superiores, y probablemente sepas que si presionas algo, se calentará.

Lo que es interesante aquí es que todas las capas exteriores de su "montón" autogravitatorio tenderán a colapsar hacia el centro (eso es lo que mejor hace la gravedad) y, como resultado, la presión seguirá aumentando y también la temperatura en el centro. . Si su masa es lo suficientemente grande, la temperatura alcanzada a través de este mecanismo es tan alta que las moléculas se dividen, los átomos se ionizan y los núcleos se fusionan, generando así energía termonuclear.

Esta energía, generada en el centro, viajará hacia el exterior y generará una presión sobre el material colapsado. El resultado es que el sistema alcanza el equilibrio, donde la presión hidrodinámica se equilibra con la presión de radiación proveniente de la fusión en el centro. Es posible hacer los cálculos y calcular cuál es la temperatura requerida para fusionar hidrógeno en helio: el resultado es 15,7 millones K.