¿Kant se equivocó al afirmar que todas las matemáticas son 'a priori'?

Tengo una comprensión diferente de las matemáticas que la visible en la interesante contribución https://philosophy.stackexchange.com/a/32859/40722 . Daré algunas razones aquí.

No estoy de acuerdo con la suposición de que todos los humanos estarán de acuerdo en última instancia sobre las mismas verdades matemáticas, ya que no existe tal cosa como la verdad matemática . Hay, sin embargo, ciertos conjuntos de axiomas con ciertas consecuencias que pueden derivarse mediante razonamiento matemático.

Argumento 1: La elección de los axiomas no es obvia. ¿Admitiría o no el lema de Zorn y el axioma de elección en su teoría de conjuntos?

Argumento 2: La elección de los mecanismos de razonamiento y derivación no es obvia. ¿Cómo tratarías la doble negación? ¿Las pruebas deberían ser constructivas? ¿Están permitidos los mecanismos transfinitos?

Argumento 3: Los conjuntos de axiomas razonablemente complejos sufren de incompletitud (Goedel). Entonces, para una axiomatización específica de la aritmética, podría encontrar numerosas fórmulas X que no se pueden derivar y para las cuales tiene la opción de agregar X o no X al conjunto de axiomas.

Argumento 4: puede usar lo que se conoce como teoría de conjuntos internos para describir lo que se conoce como análisis no estándar. Entonces, ¿cuál es el análisis "verdadero" ahora? ¿Análisis tradicional? ¿Análisis no estándar? ¿Análisis tradicional sin el lema de Zorn restringido a pruebas intuicionistas? ¿O alguna otra opción?

Argumento 5: Contrariamente a la creencia común, las matemáticas son empíricas con la noción de encontrar la verdad en el laboratorio. El laboratorio es el cerebro humano. Propongo algunos axiomas, compruebo las consecuencias, me doy cuenta de que no modelan adecuadamente el dominio en cuestión y, por lo tanto, ajusto mis axiomas.

Sin embargo hay una propiedad de nuestra mente, muy fuerte, que nos hace creer que muchas cosas son a priori. Los candidatos particularmente buenos son la lógica, la geometría y el conteo. Es por eso que la mayoría de mis argumentos aparecieron recientemente en la investigación matemática y lógica y provocaron confusión en el campo.

La idea de que las matemáticas son a priori no tiene nada que ver con la dificultad para aprenderlas o la cantidad de experiencia que un matemático pueda requerir para dominar una disciplina determinada. La pregunta tiene que ver si depende de la experiencia o no:

"Así, además, los principios de la geometría, por ejemplo, que 'en un triángulo, dos lados juntos son mayores que el tercero', nunca se deducen de los conceptos generales de línea y triángulo, sino de la intuición, y esto a priori, con certeza apodíctica”. [A25/B39]

La verdad matemática es completamente independiente de la experiencia. No depende de las convenciones sociales, y no es posible que algún día nueva evidencia derroque lo que sabemos que es la verdad matemática. Tiene sus raíces en la lógica, que es algo que Kant entendió muy bien.

El argumento de que la geometría no euclidiana de alguna manera refuta la posición de Kant sobre esto demuestra una mala interpretación de lo que estaba diciendo. Cuando Kant habló en términos de geometría euclidiana, no estaba afirmando que fuera la única geometría posible. Más bien, estaba afirmando que nuestras representaciones y cómo experimentamos la realidad se limita al espacio tridimensional:

"Nunca podemos imaginarnos o hacernos una representación de la inexistencia del espacio, aunque fácilmente podemos pensar que no se encuentran objetos en él. Debe, por lo tanto, ser considerado como la condición de posibilidad de los fenómenos, y en modo alguno como una determinación dependiente de ellos, y es una representación a priori, que necesariamente proporciona la base para los fenómenos externos..." [A23/B37]

Lo irónico de esto es que incluso los matemáticos, cuando hablan de geometrías alternativas, describen esas geometrías en términos de geometría euclidiana. Cuando se habla de espacio curvo, por ejemplo, se presenta la idea de la curvatura del espacio relativa a la geometría euclidiana. Es curvo en relación con la rectitud euclidiana. Al hacerlo, en realidad están dando testimonio del hecho de que la geometría euclidiana sirve como base de nuestra experiencia.

Cuando Gauss intentaba ilustrar la falta de necesidad en la geometría no euclidiana, dibujó figuras pseudoeuclidianas que a veces no concordaban con sus descripciones. ¿Cómo dibujarías, por ejemplo, un arco con dos radios diferentes: uno finito y otro infinito? Por supuesto que no es posible. Estaba tratando de representar objetos que son inconsistentes con la experiencia como si lo fueran. Sin desmerecer su trabajo como matemático, pero no estaba hablando de lo mismo que Kant. Kant estaba interesado en los objetos de la experiencia, y las entidades extra-experienciales de Gauss no hicieron nada para disminuir nuestra certeza con respecto a que la geometría euclidiana está determinada por tal experiencia.

La razón por la que las matemáticas tienen que ser a priori es que asumimos que todos los humanos estarán de acuerdo en última instancia sobre las mismas verdades matemáticas.

Esto no es cierto para ningún otro dominio. Suponemos que nuestra física está moderada por nuestra experiencia, pero no por nuestras matemáticas. Físicos igualmente competentes e inteligentes de todas las generaciones no han estado de acuerdo, incluso con acceso a los mismos datos. Lo mismo ocurre con la biología, la ética, el derecho, etc. Pero los matemáticos, una vez dadas las pruebas, esperan no estar en desacuerdo. Si no hay consenso, debemos suponer que la falla está en la prueba: de alguna manera está incompleta.

De modo que el valor de verdad se establece fuera del individuo, irrelevante para la experiencia. Es posible que aún no se haya "sintetizado" mediante la exposición a los estímulos que lo hacen relevante. Pero ya está formado, o en última instancia, variaría entre los individuos.

Una forma materialista de enmarcar el pensamiento a priori sería que al menos es filogenético: todos los humanos están de acuerdo en él, y una vez que forman los conceptos, nunca cambia para ellos. No podemos saber si los no humanos lo harían, pero con este argumento Kant sugiere que lo harán, a menos que su percepción del espacio y el tiempo sea completamente diferente, sin compartir una base común con la nuestra.

Apéndice

Para responder a la objeción de @Conifold: para combinar experiencias y derivar principios generales , tiene que haber un mecanismo para hacerlo, la experiencia no se correlaciona naturalmente con las reglas, le hacemos eso. Kant propone las Categorías, que son un poco audaces en su detalle y especificidad.

En una vena más materialista, propondría que el mecanismo es el sentimiento emocional subjetivo innato de 'claridad'. Hay un tipo de combinación que es más clara entre las especies, y el resultado es un sustrato compartido dado de suposiciones que subyacen y se convierten en lógica y matemáticas. (El sentimiento de que esta base es compartida, y que debemos profundizar en los aspectos compartidos de la misma, es más evidente en nuestra experiencia de la melodía musical).

Esto incluye dos conjuntos básicos de intuiciones profundamente compartidos:

1. nuestro modelo estereoscópico compartido del espacio que:

   • es común en todas las personas, incluso con muchos sentidos afectados
   • es muy independiente de las opiniones reales, o incluso de las posibles: considere la experiencia fuera del cuerpo

2. las experiencias de continuidad y separabilidad de los momentos que experimentamos como tiempo (un análisis a la Brouwer en Intuitionism) que:

   • basar nuestras nociones de discreto y continuo, incluida su falla paradójica básica para combinarse adecuadamente, y las nociones extrañas y defectuosas de infinito y negación que finalmente resultan
   • crear el impulso de contar y medir, a través del ritmo y el tempo, que extrapolamos a nociones matemáticas de números

En Thomas Vincis Kant, Geometry and Space , escribe:

El Segundo Argumento Geométrico requiere que Kant derive teoremas geométricos de los principios de su doctrina del método matemático y que demuestre que tienen el estatus de proposiciones sintéticas a priori , algo que asume el primer argumento.

Que no es una tarea fácil es lo que lleva a decir Kant en la introducción de la CPR y de los Prologemena.

B19 : ¿Cómo es posible que la razón humana produzca juicios matemáticos sintéticos a priori?

Sintético significa que la verdad de la proposición se encuentra fuera del sujeto o de la gramática de la proposición, mientras que a priori sugiere lo contrario, ya que está antes de toda experiencia posible y, por lo tanto, se basa en la cognición pura; por lo tanto, pedir tal proposición es casi como si uno estuviera buscando una especie de verdad dialética , ya que los dos términos son opuestos.

Continúa diciendo que:

la cognición filosófica es la cognición racional a partir de conceptos , la cognición matemática que a partir de la construcción de conceptos.

Por lo tanto, posiblemente el constructivismo ...

Pero construir un concepto es exhibir a priori la intuición que le corresponde.

Por lo tanto

Para la construcción de un concepto se requiere una intuición no empírica ...

Si es a priori debe ser no empírico

Así construyo un triángulo exhibiendo un objeto correspondiente a este objeto, ya sea por mera imaginación, en pura intuición; o en papel, como intuición empírica; pero en ambos casos completamente a priori sin tener que tomar prestado el patrón de ninguna experiencia.

Explica por qué la figura dibujada empíricamente puede servir como a priori :

La figura individual dibujada es empírica, y sin embargo sirve para expresar el concepto, sin perjuicio de su universalidad.

Ya que

Pues en el caso de esta intuición empírica sólo hemos tenido en cuenta la acción de construir este concepto, a la que muchas determinaciones, por ejemplo las de la magnitud de los lados y de los ángulos, son enteramente indiferentes.

Y

así hemos hecho abstracción de estas diferencias, que no alteran el concepto de triángulo.

Esta es la imagen que tengo en mi mente cuando pienso en un triángulo, es como si dibujara ante mí un triángulo cuyos lados y ángulos no están etiquetados con números particulares, sino con letras para expresar, con un signo, que soy indiferente. a su magnitud real, sino que son necesarios.

Por mi vida, no puedo recordar quién argumentó originalmente esto o encontrar el artículo a través de la búsqueda de Google, pero @Conifold lo insinuó anteriormente: las matemáticas están inextricablemente relacionadas con el mundo físico que habitamos y, por lo tanto, no son necesariamente ciertas a priori .

Imagina un mundo donde toda la materia se comportara como una especie de fluido, hasta el nivel molecular. Suponga que las leyes físicas de este universo son drásticamente diferentes. ¿Los habitantes de este mundo tendrían las mismas verdades que tenemos sobre las matemáticas sin formas rígidas u objetos estrictamente definidos? ¿Tendrían conocimiento a priori de polígonos? ¿Alguna vez los triángulos cruzarían por sus mentes? Incluso parece dudoso que sin la característica ingeniosa donde la materia se agrupa en nuestro universo, tendríamos la misma comprensión de cómo funcionan los números.

Alimento para el pensamiento, supongo.

En cuanto a tu experimento mental, no lo encuentro particularmente motivador. Al pedirme que "suponga que las matemáticas no se pueden entender completamente sin una entrada externa", está asumiendo la conclusión de su argumento de que el conocimiento matemático no es necesariamente un conocimiento previo .

Una vez que te hayas sentado con lápiz y papel y hayas probado el teorema por ti mismo, no hay nada más que pueda "profundizar" tu comprensión: ya lo sabes de cabo a rabo. Tal vez su comprensión pueda "ampliarse" mediante la interpretación o la visualización, pero incluso entonces, estos gráficos son solo representaciones visuales de la lógica contenida en las matemáticas, no similares a cómo los experimentos se relacionan con la ciencia.

Existe un claro desacuerdo en los fundamentos de las matemáticas si es a priori o no. La mayoría de los platónicos y todos los kantianos sostienen que los enunciados matemáticos son necesariamente el caso. Aunque se necesita actividad sintética adicional para mostrar 5 y 7 sumados es igual a 12, siempre fue necesariamente así 5+7=12. La “afirmación de Kant [es] que todos los juicios matemáticos son sintéticos ya priori. Allí afirma, en primer lugar, que “los juicios propiamente matemáticos son siempre juicios a priori” sobre la base de que son necesarios y, por lo tanto, no pueden derivarse de la experiencia” http://plato.stanford.edu/entries/kant-mathematics/

Para platonsim, SEP dice que la mayoría de los platónicos tienen la misma necesidad modal sobre las matemáticas. Probablemente, la forma directa en que el platónico piensa que podemos acceder a objetos matemáticos abstractos indica si el platónico es a priori o no acerca de las matemáticas.

Compare eso con el ficcionalismo, “Yablo (2001) enfatiza, en el caso del ficcionalismo matemático, que en los usos ordinarios de oraciones matemáticas, parece que afirmamos algo a priori y necesario, pero no parece a priori y necesario que según la ficción de matemática estándar, las cosas están así y así. Generalmente, el metaficcionalismo fuerza la atención al “según la ficción…” https://plato.stanford.edu/entries/fictionalism/

No creo que el formalismo o el nominalismo tengan mucho pellejo aquí. Tampoco sé lo que dicen el constructivismo y el intuicionismo. Pero está claro que hay desacuerdo sobre las afirmaciones a priori de Kant. No es posible decir si se equivocó o no en este punto, ya que el polvo no se ha asentado. Pero su justificación ciertamente parece cuestionable y poco sofisticada en el contexto moderno.