Intuición detrás de la centralidad del vector propio y el procedimiento de cálculo

Un agente es central si está conectado a otros agentes que son centrales$\dots$

La centralidad del vector propio$EC\left(v_{i}\right)$del vértice$v_{i}$puede describirse como una medida de la importancia estructural de$v_{i}$, proporcional a las importancias estructurales de su vecindario conectado; las centralidades del vector propio$EC\left(v_{j}\right)$) de cada vértice$v_{j}\in N\left(v_{i}\right)$.

En su definición, la proporcionalidad requerida se obtiene sumando el conjunto de vecinos$v_{j}\in N\left(v_{i}\right)$del vértice principal$v_{i}$. Sin embargo, en cualquier red símplex, las entradas de la matriz de adyacencia$a_{v_{i}v_{j}}$son distintos de cero siempre que el vértice$v_{j}$es incidente a$v_{i}$, y por lo tanto, cada término$a_{v_{i}v_{j}}EC\left(v_{j}\right)$es distinto de cero sólo si$e_{ij}\in E$.

Con esto en mente, podemos extender la suma de vecindad a la suma de todos los vértices presentes en la red, ya que solo los vértices conectados contribuirán a la suma de centralidad del vector propio de$v_{i}$. Por eso

$$\begin{equation} EC\left(v_{i}\right) := \frac{1}{\lambda}\sum_{v_{j}\in N\left(v_{i}\right)} a_{v_{i}v_{j}}EC\left(v_{j}\right) = \frac{1}{\lambda}\sum_{v_{j}\in V} a_{v_{i}v_{j}}EC\left(v_{j}\right) \end{equation}$$

Adoptando la notación vectorial$EC := \left(EC\left(v_{i}\right)\right)_{v_{i}\in V} \in \mathbb{R}^{|V|}$, la definición de centralidad del vector propio ahora se puede expresar en términos de la matriz de adyacencia completa A:

$$\begin{equation} EC = \frac{1}{\lambda}A.EC \end{equation}$$ Aquí, cada entrada $EC\left(v_{i}\right)$del $EC$vector es proporcionalmente igual al $i$-th de $A$multiplicado por todo el vector $EC$. Por último, obtenemos la ecuación del vector propio $\lambda EC = A.EC$, que da nombre a la centralidad.

$\dots$y la medida tiene en cuenta las conexiones directas e indirectas entre los agentes

A pesar de no ser una terminología ampliamente aceptada, la centralidad del vector propio se clasifica con frecuencia como una centralidad radial , que es la clase de métrica de centralidad que mide la importancia estructural en términos de recorridos de red que se originan/terminan en un vértice deseado en particular.

Dada la expresión$\lambda EC = A.EC$, es posible imaginar recursivamente que la centralidad del vector propio de$v_{i}$es proporcional a la importancia de sus vecinos$N\left(v_{i}\right)$, cuya importancia es proporcional a sus vecinos, cuya importancia es proporcional a sus vecinos, etc.$\dots$Por lo tanto, argumentaría que las centralidades de vectores propios de hecho tienen en cuenta "las conexiones directas e indirectas entre los agentes", como sugiere su declaración.

como calculamos$EC\left(v_{i}\right)$en la práctica (la definición dada arriba parece recursiva)?

Hay una gran cantidad de métodos computacionales para calcular los vectores propios y, por lo tanto, las centralidades de los vectores propios. Podría decirse que el más común de los cuales es un algoritmo implementado recursivamente llamado método de iteración de potencia .