Interpretación relativista del efecto magnético sobre una carga debido a un cable portador de corriente perpendicular

Suponga que tenemos un conductor portador de corriente y un + v mi carga de prueba moviéndose a lo largo de la corriente. En el marco de reposo de la carga de prueba, los electrones en el cable se expanden en longitud y los iones positivos del metal se contraen en longitud. Esto hace que la densidad de carga de longitud sea netamente positiva, lo que da como resultado una fuerza repulsiva en la carga de prueba, perpendicular al cable. Esta explicación también concuerda con la fuerza magnética F L = q ( v × B ) en la carga en el laboratorio-marco.

Ahora, supongamos que la carga de prueba se mueve perpendicularmente al cable. Sabemos por el magnetismo elemental que la fuerza magnética en la carga de prueba ahora está a lo largo del cable.

Pero, ¿cómo obtengo el mismo resultado a través de la contracción/expansión de longitud relativista en el marco de reposo de la carga de prueba?

Por lo que entiendo, la carga de prueba en movimiento no debe observar ninguna contracción de longitud de ningún elemento del cable, ya que se mueve perpendicularmente a la dirección del movimiento relativo.

la relatividad no es necesaria aquí. Clásicamente, no importa si la carga se mueve hacia el cable o si el cable se mueve hacia la carga.
@ R.Emery No entiendo a qué parte específica de la pregunta se refiere.
En la primera parte de su pregunta, clásicamente espera dos resultados diferentes en dos marcos diferentes. Se requiere relatividad para explicar la diferencia. Dado que no hay una diferencia clásica en la segunda parte de su pregunta, no hay razón para invocar la relatividad para explicar algo que no requiere explicación. Estabas tratando de resolver un problema que no existe.
La respuesta que ha aceptado es incorrecta (vea mi comentario debajo). Considere aceptar la respuesta de stuffu en su lugar (que podría ser más clara y completa, pero al menos apunta en la dirección correcta). Para otra forma de explicarlo, vea mi respuesta a una pregunta similar.

Respuestas (3)

Digamos que al principio hay corriente, pero el cable no se mueve en relación con nosotros. El campo eléctrico de cada electrón se contrae en longitud. Por alguna razón, esto es más fácil si los electrones se mueven bastante rápido, así que digamos que se mueven bastante rápido.

Entonces el cable comienza a moverse hacia nosotros, muy lentamente. Básicamente, lo que sucede es que el vector de velocidad de cada electrón gira unos pocos grados. Así también, el campo eléctrico alrededor de cada electrón gira unos pocos grados, los campos no son perfectamente redondos, por lo que este giro en realidad significa algo.

Significa que nuestra carga de prueba experimenta una fuerza diferente cuando se giran los campos.

(Me refiero a la forma de los giros del campo, no necesariamente el campo en sí)

Consulte el capítulo "Carga en movimiento perpendicular al cable" aquí: https://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html

¿Quién es 'nosotros'? ¿Marco de laboratorio o marco de carga de prueba?
@Kraken estamos parados en el piso del laboratorio, la carga de prueba está en nuestra mano, la cual mantenemos quieta. Revisa el enlace que agregué.
Gracias. El enlace fue muy útil.

De Las matemáticas de la gravedad y los cuantos

El cuadrivector que describe una partícula cargada es la corriente, j . j contiene información sobre la carga y el movimiento de la partícula. Para una carga estacionaria, la corriente 3 es cero, por lo que la corriente 4 es ( q , 0 ) . La forma general de j se encuentra por transformación de Lorentz y tiene la forma j = ( γ q , γ q v ) . Dado que la covarianza requiere que las leyes físicas estén representadas por tensores, para describir la fuerza electromagnética que actúa sobre una partícula cargada necesitamos contraer j con un tensor, F , que representa el campo electromagnético. F es el tensor de Faraday . El resultado de la contratación j con F es un vector, fuerza. Entonces, Faraday es un tensor de rango 2. Faraday debería expresar tanto la fuerza que actúa sobre una partícula cargada como la fuerza reactiva igual y opuesta ejercida por la partícula sobre su entorno. Si Faraday es un tensor antisimétrico, contraerse con un índice dará la fuerza sobre la partícula y contraerse con el otro dará la fuerza reactiva. Escribimos la ley de la fuerza de los 4 vectores,

( F o r C mi ) i = F i j j j .
Aunque a primera vista no lo parezca, se trata precisamente de la ley de la Fuerza de Lorentz, que suele expresarse en términos de dos campos de 3 vectores, el campo eléctrico mi y el campo magnético, B ,
F o r C mi = mi ( mi + v × B ) ,
donde tenemos
F i j = [ 0 mi X mi y mi z − mi X 0 B z − B y − mi y − B z 0 B X − mi z B y − B X 0 ] .
Para ver esto, simplemente necesitamos considerar un campo eléctrico estático. En este caso, la fuerza de 3 vectores es
q mi = ( q mi X , q mi y , q mi z )
Entonces podemos escribir el tensor de Faraday, usando la antisimetría para determinar los otros componentes,
F i j = [ 0 mi X mi y mi z − mi X 0 0 0 − mi y 0 0 0 − mi z 0 0 0 ] .
Para un campo debido a una carga en movimiento, Faraday se encuentra a partir de la transformación de Lorentz, actuando sobre ambos índices,
F metro ′ norte ′ = k i metro ′ k j norte ′ F i j .
Esto introduce los campos magnéticos para una carga en movimiento en términos del campo eléctrico de una carga estática. Anti-simetría de F metro ′ norte ′ se sigue directamente de la antisimetría de F i j . En general, Faraday no se representa simplemente mediante el impulso de un campo estático, sino que es el resultado de sumar los campos generados por muchas partículas, cada una de las cuales podría considerarse estática en el marco de reposo de esa partícula. Esto conduciría a una expresión complicada, conservando la antisimetría, y resumida por los campos eléctricos y magnéticos resultantes, mi y B .

gracias por su respuesta detallada. Me temo que no tengo suficiente formación en matemáticas para entender su respuesta. Mi comprensión superficial es que esta es una forma de prueba matemática que extrae la fuerza de Lorentz de una construcción relativista (¿tensor?). Le agradecería si pudiera explicar cómo la contracción de longitud no da como resultado fuerza en el caso de prueba de movimiento perpendicular. O señalar fallas en toda la premisa que elaboré.
La "contracción" de longitud relativista no es en realidad una contracción. Es un efecto aparente , mejor en comparación con una regla que parece más corta porque está en un ángulo de visión. Las longitudes adecuadas no cambian; los objetos no se acortan en un marco de referencia en el que no se mueven. Esta idea, que es bastante simple en sí misma, se describe mediante las matemáticas de la transformación de Lorentz. Realmente no sé cómo explicarlo sin las matemáticas, excepto en los casos más simples, y la verdad es que desconfío del argumento que citaste, que como dices no funciona para una sola carga sin duración.

Pero, ¿cómo obtengo el mismo resultado a través de la contracción/expansión de longitud relativista en el marco de reposo de la carga de prueba?

Por lo que entiendo, la carga de prueba en movimiento no debe observar ninguna contracción de longitud de ningún elemento del cable, ya que se mueve perpendicularmente a ellos.

Has respondido tu propia pregunta. No obtienes una contracción de longitud con esta configuración. La contracción de la longitud depende de la dirección y solo es importante para la configuración paralela.

La configuración perpendicular no tiene contracción de longitud. La densidad de corriente y la densidad de carga del cable no cambian en el marco de la carga de prueba. Según la ley de Faraday, el campo eléctrico que empuja la carga de prueba es inducido por el campo B variable en el tiempo a medida que se mueve el cable.

La configuración en paralelo es de interés porque para ese caso una explicación relativista es simple e interesante. No debe tomarse como un enfoque general.

Esto es incorrecto. La contracción de longitud realmente ocurre aquí (a los electrones en el cable en dirección diagonal) en el marco de referencia de la carga de prueba y permite explicar la fuerza en la carga de prueba (en una dirección paralela al cable) sin invocar campos magnéticos . Vea la respuesta de stuffu a esta pregunta y mi respuesta a una pregunta similar.
@GumbyTheGreen eso es incorrecto. La contracción de longitud que ocurre con los electrones en el cable ocurre igualmente con los protones. No hay carga neta producida de esa manera. Suponga un impulso en la dirección x y una corriente en la dirección y, entonces la corriente de cuatro es ( ρ , j X , j y , j z ) = ( 0 , 0 , j , 0 ) lo que da ( ρ ′ , j X ′ , j y ′ , j z ′ ) = ( 0 , 0 , j , 0 )
Si los electrones se mueven hacia arriba y la carga de prueba se mueve hacia la izquierda hacia el cable, entonces desde el marco de referencia de la carga de prueba, los electrones se mueven hacia arriba y hacia la derecha (mientras que los protones solo se mueven hacia la derecha). Entonces, sus campos eléctricos se contraen en diagonal (mientras que los de los protones solo se contraen horizontalmente) y el componente vertical de esa contracción crea una carga neta. Consulte las páginas 265-267 de Electricity and Magnetism, 3rd Edition y/o el enlace en la respuesta de stuffu.
Sí, así es como se ve el campo E en ese marco, pero la pregunta es ¿cuál es la fuente de ese campo? No hay densidad de carga, por lo que la fuente del campo no es la ley de Gauss. La fuente del campo E proviene del campo B variable. Es simplemente falso que la contracción crea una carga neta en ese marco. Lea atentamente sus fuentes, no afirman que el cable se carga en esta configuración. En P. 266 Purcell incluso establece explícitamente que el cable está descargado en ambos marcos
Lo he leído detenidamente y no dice ni implica que el campo E provenga de un campo B variable. Deja claro que el campo E proviene de las cargas de las partículas. De hecho, en la pág. 277, dice "Las fuentes de campos magnéticos son corrientes, en contraste con las fuentes de campos eléctricos, que son cargas". Ni siquiera entra realmente en los campos B o la inducción hasta los siguientes capítulos (excepto por breves menciones ocasionales). El efecto que describe es la causa subyacente de la construcción matemática que llamamos campo magnético.
Cuando dice "el cable está descargado", está claro por el contexto que se refiere a la dirección y, ya que acaba de terminar de decir que Ey = 0, después de decir que Ex != 0. De acuerdo, podría haber sido más claro sobre esto. Y creo que podría haber sido un error que el libro invoque la ley de Gauss aquí, ya que esa ley se trata del campo E total que pasa a través de la superficie de todo el cable y no dice nada sobre el campo E en ningún punto particular o en cualquier dirección particular.
La carga de @GumbyTheGreen no es un vector. No tiene dirección. No se puede cargar en x y descargar en y. El cable está cargado o descargado en un marco dado y, como lo aclara su propia referencia, está descargado en el marco perpendicular. Le sugiero que lea sobre las cuatro corrientes relativistas. Si está confundido acerca de cómo se transforman las cargas y las corrientes, haga una pregunta.
Eso es cierto, mi redacción estaba mal. Mi punto era que los campos E positivos y negativos de esas cargas no se cancelan en todas las direcciones en todos los marcos de referencia solo porque su magnitud total es igual y opuesta.
Interpretación relativista del efecto magnético sobre una carga debido a un cable portador de corriente perpendicular
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