Si tenemos un dipolo ideal en un campo electrico Sabemos que la energía potencial es:
Una vez que sabemos que el dipolo tiene una orientación inicial, se puede deducir que con el tiempo evolucionará hasta alinearse con .
Quería describir esto en el formalismo hamiltoniano. La razón de esto es usar esto más tarde en el contexto de la mecánica estadística, para calcular la función de partición.
Para eso pensé en usar la orientación dipolo. como coordenadas generalizadas, ya que un dipolo ideal es solo un vector y su magnitud es fija.
En ese escenario desde es uniforme, en la dirección eso lo tenemos directamente
Por eso podríamos inferir que
Pero esto no parece correcto, porque cuando trato de derivar las ecuaciones para la evolución del sistema tenemos:
Ahora, esto dice que lo cual ciertamente es incorrecto, ya que con el tiempo el dipolo tiende a alinearse con el campo.
También he intentado empezar desde el Lagrangiano , pero eso no es bueno. El dipolo en realidad no se está moviendo, de hecho, el dipolo aquí es solo un vector fijo en algún lugar con la orientación cambiando, por lo que parece que . Con eso si tuviéramos que derivar el impulso y del lagrangiano obtendríamos solo .
¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Cómo se trata un dipolo eléctrico ideal en la mecánica hamiltoniana?
Su dipolo 'ideal' es una barra rígida uniforme sin masa (y por lo tanto su momento de inercia alrededor de cualquier eje, a través de cualquier punto, es cero). Como tal, y su derivado son trivialmente (siempre) cero ya que, asumiendo que el dipolo está fijo en su centro pero es libre de girar en y , . Desde es cero, también lo es . El análogo lineal de esto sería tratar de derivar las ecuaciones de movimiento de una partícula sin masa.
Si le das a tu dipolo un momento de inercia alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y es perpendicular a su longitud (Alternativamente, podría modelar el dipolo como una barra sin masa con dos masas puntuales en cada extremo, dando una diferente ), y llame al momento dipolar (no voy a usar para evitar confusiones con los momentos) se obtiene el siguiente Lagrangiano (que define el -eje (eje polar) para estar en la dirección de ):
Nótese la presencia de en el término de interacción dipolar; según su publicación original, estamos permitiendo la libertad en ambos y . Esto da lugar a los siguientes momentos conjugados:
Esto da el hamiltoniano, expresado en , , y solo:
A partir de esto, uno puede girar el mango y obtener las expresiones para , etc., según lo desee, utilizando las ecuaciones de Hamilton como se indica en su publicación original.