Derivación de la ley de Coulomb a partir de la electrodinámica cuántica [duplicado]

Hay múltiples formas de interpretar la ley de Coulomb en electrodinámica cuántica (QED). Curiosamente, no conducen a la misma conclusión (pero no hay inconsistencia porque no se definen de la misma manera).

La forma más utilizada (a la que se refiere ACuriousMind en su comentario) consiste en relacionar la noción de potencial clásico con la de sección transversal de dispersión entre dos cargas. La razón por la que este es el método más utilizado está puramente relacionada con el campo en el sentido de que los físicos de partículas (de alta energía) son los que utilizan más QED y lo que miden, de hecho, son secciones transversales; así que eso tiene sentido.

En esta interpretación de dispersión de la ley de Coulomb, la interacción está relacionada con la expresión de la matriz S en términos de diagramas de Feynman. El primer diagrama da la ley clásica de Coulomb que es independiente de la constante de Planck$h$mientras que los términos de orden superior contienen correcciones cuánticas que se desvanecen como$h \rightarrow 0$. Puede encontrar un ejemplo de QED escalar aquí (página 12).

Sin embargo, existe otra forma de interpretar la ley de Coulomb que está relacionada con el campo de la física de bajas energías (de la que obtenemos átomos, moléculas, etc.).

En esta interpretación (más adaptada a la física de bajas energías), el potencial de Coulomb es la energía del estado fundamental QED de un sistema de dos cargas puntuales.$q_1$y$q_2$anclado en dos lugares separados por una distancia$r_{12}$.

Si escribimos primero el hamiltoniano del campo electromagnético libre (EM), tenemos:

$$\begin{equation} \hat{H}_{R} = \sum_{i = 1,2} \sum_{\mathbf{k}} \hbar \omega(\mathbf{k}) \:a^{\dagger}_{i,\mathbf{k}} a_{i,\mathbf{k}} \end{equation}$$ dónde $i$representa las dos posibles polarizaciones transversales y $\mathbf{k}$es el vector de onda del fotón.

Con esta definición de energía EM libre, tenemos que la energía de vacío para el campo EM libre es

$$\begin{equation} \langle 0| \: \hat{H}_{R} \: |0 \rangle = 0 \end{equation}$$

Ahora, cuando introducimos las dos cargas fijas, debemos tener en cuenta el acoplamiento entre ellas y el campo EM. El hamiltoniano de todo el sistema es entonces:

$$\begin{equation} \hat{H}_{tot} = \hat{H}_{R} + \hat{H}_{coupling} \end{equation}$$

dónde

$$\begin{equation} \hat{H}_{coupling} = \int d^3r \: A_{\mu}\: j^{\mu} \end{equation}$$

dónde$\{A_{\mu}\}$es el potencial 4 del campo EM y$\{j^{\mu}\} \equiv (c\rho, \mathbf{j})$es la densidad de corriente 4. En nuestro caso de cargas ancladas tenemos que$\{j^{\mu} \} = (c[q_1\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)+q_2\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)], \mathbf{0})$.

En una formulación covariante de QED, el campo$A_s = A_0$se puede escribir en términos de fotones escalares (que tienen algunas propiedades inusuales):

$$\begin{equation} A_s(\mathbf{r}) = \int d^3k \sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega (2\pi)^3}}(a_s(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} + a^{\dagger}_s(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}) \end{equation}$$ lo que lleva a $$\begin{equation} \hat{H}_{coupling} = \int d^3k c\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega (2 \pi)^3}}\left[a_s(\mathbf{k})(q_1 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) + a^{\dagger}_s(\mathbf{k})(q_1 e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) \right] \end{equation}$$

que no son observables ya que no contribuyen a la energía del campo de radiación$\hat{H}_R$.

Debido a que hay cargas presentes en el sistema, la energía del estado fundamental ahora es diferente de cero. Podemos tratar de estimar el cambio$\Delta E$por el cual la energía del vacío ha cambiado usando la teoría de la perturbación hasta el primer término distinto de cero:

$$\begin{equation} \Delta E = \langle 0| \hat{H}_{coupling} | 0 \rangle + \sum_{n \neq 0} \frac{|\langle n|\hat{H}_{coupling}| 0 \rangle |^2 }{- E_n} + .... \end{equation}$$

como es bastante obvio, el primer término es cero por definición del vacío del campo libre. El segundo término solo es distinto de cero para los estados de Fock donde se produce un fotón escalar. Obtenemos así:

$$\begin{equation} \Delta E \approx \int d^3k \frac{|\langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle |^2}{-\hbar \omega} \end{equation}$$

Ahora tenemos eso:

$$\begin{equation} \langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle = c\sqrt{\frac{\hbar}{2 \varepsilon_0 \omega(\mathbf{k})}}(q_1 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) \end{equation}$$

Aquí es ahora donde aparece la rareza de los fotones escalares (en estos cálculos muy incompletos). Cuando calculamos la norma cuadrada del elemento de la matriz, resulta que es negativa para los fotones escalares (este truco permite hacer que desaparezcan cosas más problemáticas y así es como funciona). Tenemos pues que:

$$\begin{equation} |\langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle |^2 = - \frac{c^2 \hbar}{2 \varepsilon_0 \omega(\mathbf{k})} |(q_1 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2})|^2 \end{equation}$$

Al reemplazar en la expresión por$\Delta E$, se encuentra que:

$$\begin{equation} \Delta E \approx \epsilon_1 + \epsilon_2 + V_{coul} \end{equation}$$

dónde

$$\begin{equation} \epsilon = \int d^3k \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 k^2} \end{equation}$$ es la energía de auto interacción de las cargas consigo mismas (puede interpretarse como la emisión y absorción de un fotón escalar por la misma carga)

y

$$\begin{equation} V_{coul} = \int d^3k \frac{q_1 q_2 e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}}{2\varepsilon_0 k^2} = \frac{q_1q_2}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|} \end{equation}$$ es el potencial de interacción de Coulomb.

Tenga en cuenta que, aunque para simplificar, solo he usado la expansión de la perturbación hasta el segundo orden, resulta que, de hecho, el estado fundamental EM exacto con cargas fijas en ubicaciones fijas es exactamente igual al$\Delta E$hemos calculado. Para aclarar el punto, no existe la corrección cuántica de la interacción de Coulomb en esta configuración, ya que es un resultado exacto de QED. Desde este punto de vista, las correcciones cuánticas surgen cuando también se introduce una teoría de campo dinámico para las partículas cargadas; de ahí las diferencias con la imagen de dispersión.

Para más información sobre esta imagen, recomiendo encarecidamente este libro en el que se inspira en gran medida el resumen anterior (aunque escrito de manera más sencilla).