Cuantización de una guía de ondas: solo tiene uno de los dos EOM en su Lagrangiano. ¿Cómo puede ser correcta la cuantización?

Question

Cuantización de una guía de ondas: solo tiene uno de los dos EOM en su Lagrangiano. ¿Cómo puede ser correcta la cuantización?

StarBucK

Estoy siguiendo esta referencia, apéndice C y D, alrededor de la página 61

El objetivo es cuantificar la corriente eléctrica de la onda que se propaga en una guía de ondas.

MOE clásica:

Modelamos una guía de ondas mediante una sucesión de osciladores LC:

Estudiaremos la propagación de ondas eléctricas en esta línea, por lo que haremos un razonamiento diferencial: $c_0$ es la capacitancia por unidad de longitud, $l_0$ la inductancia por unidad de longitud.

Usando las leyes de Kirchoff en un elemento de longitud $dx$ , entonces encontramos las ecuaciones del telégrafo:

\partial_{X} V (X, t) = - {yo}_{0} \partial_{t} I (X, t)

$\partial_x V(x,t)=-l_0 \partial_t I(x,t)$

\partial_{X} I (X, t) = - C_{0} \partial_{t} V (X, t)

$\partial_x I(x,t)=-c_0 \partial_t V(x,t)$

Escribiendo Lagrangiano y Hamiltoniano:

Definimos la variable de flujo $\phi$ como:

ϕ (X, t) = \int_{- \infty}^{t} V (X, t^{'}) d t^{'}

$\phi(x,t)=\int_{-\infty}^t V(x,t') dt'$

Así, tenemos por definición: $V(x,t)=\partial_t \phi(x,t)$

También tenemos: $I(x,t)=-\frac{1}{l_0} \partial_x \phi(x,t)$ , proviene de la caída de voltaje alrededor de una inductancia ( $U=L \dot{I}$ ) y el hecho $\phi$ es la integral de tiempo de $V$ . (Puedo agregar precisión si es necesario).

Ahora, el autor dice que la densidad lagrangiana para nuestro sistema es (supongo que está inspirada en la lagrangiana de un oscilador LC):

L (\dot{ϕ}, \partial_{X} ϕ) = \frac{C}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{1}{2 yo} (\partial_{X} ϕ)^{2}

$\mathcal{L}(\dot{\phi},\partial_x \phi)=\frac{c}{2} \dot{\phi}^2-\frac{1}{2l}(\partial_x \phi)^2$

Este lagrangiano conduce a la siguiente MOE:

\frac{1}{C_{0} {yo}_{0}} \partial_{X}^{2} ϕ - \partial_{t}^{2} ϕ = 0 \Rightarrow \partial_{X} I (X, t) = - C_{0} \partial_{t} V (X, t)

$\frac{1}{c_0 l_0}\partial_x^2 \phi - \partial_t^2 \phi=0 \Rightarrow \partial_x I(x,t)=-c_0 \partial_t V(x,t)$

Notamos que este Lagrangiano solo implica uno de los dos EOM

Luego, encuentra la cantidad de movimiento asociada a $\phi$ , escribe el hamiltoniano, impone una relación de conmutación entre posición y cantidad de movimiento para cuantificar la teoría.

Mi pregunta

Aquí la densidad lagrangiana sólo contiene uno de los dos MOE del sistema . ¿Por qué entonces la cuantización es correcta ? Para mí, debe tener la dinámica completa codificada en el lagrangiano y luego en el hamiltoniano para poder cuantificar. ¿Cómo puede entonces ser correcta la cuantización? Estoy confundido.

artem alexandrov

En mi humilde opinión, preguntas sobre dos enfoques diferentes para la cuantificación: usar hamiltoniano versus usar lagrangiano, ¿no?

StarBucK

@ArtemAlexandrov hmm en realidad el procedimiento (el único que sé que es justo, y el que se hace en la referencia), es comenzar desde el lagrangiano, encontrar el momento conjugado que nos dice

[x, p] = i ℏ

$[x,p]=i\hbar$ . ¿Supongo que es lo que llamarías cuantización lagrangiana?

Respuestas (1)

Cuantización de una guía de ondas: solo tiene uno de los dos EOM en su Lagrangiano. ¿Cómo puede ser correcta la cuantización?

En mi humilde opinión, preguntas sobre dos enfoques diferentes para la cuantificación: usar hamiltoniano versus usar lagrangiano, ¿no?
@ArtemAlexandrov hmm en realidad el procedimiento (el único que sé que es justo, y el que se hace en la referencia), es comenzar desde el lagrangiano, encontrar el momento conjugado que nos dice $[x,p]=i\hbar$ . ¿Supongo que es lo que llamarías cuantización lagrangiana?

knzhou · Answer 1

Las definiciones

V (X, t) = \partial_{t} ϕ (X, t), I (X, t) = - \frac{1}{{yo}_{0}} \partial_{X} ϕ (X, t)

$V(x,t)=\partial_t \phi(x,t), \quad I(x,t)=-\frac{1}{l_0} \partial_x \phi(x,t)$ automáticamente implican, por la igualdad de derivadas parciales mixtas (

\partial_{x} \partial_{t} ϕ = \partial_{t} \partial_{x} ϕ

$\partial_x \partial_t \phi = \partial_t \partial_x \phi$ ), el resultado

\partial_{X} V = - \frac{1}{{yo}_{0}} \partial_{t} I

$\partial_x V = - \frac{1}{l_0} \partial_t I$ cuál es tu ecuación "faltante". Esto es independiente de las ecuaciones de movimiento.

Esto no es raro cuando se formalizan cosas en la mecánica lagrangiana. Por ejemplo, la intensidad del campo electromagnético se puede definir como $F = dA$ . En ese caso, el resultado $dF = 0$ sigue por definición, independientemente de las ecuaciones de movimiento, y contiene dos de las ecuaciones de Maxwell.

Editar: parece que la verdadera pregunta es, ¿cómo puede $I(x,t)=-\frac{1}{l_0} \partial_x \phi(x,t)$ ser una definición cuando se deriva de la ley de Faraday? El punto es que las derivaciones en un contexto pueden ser leyes en otro contexto, o postulados o definiciones en otro más. En el contexto del electromagnetismo clásico, a partir de las ecuaciones de Maxwell, se deriva este resultado. Pero en el contexto de modelar una guía de ondas con un Lagrangiano extremadamente simple, debe ser una definición, porque su Lagrangiano ni siquiera sabe qué letra $I$ es o significa. Eso está bien, porque los dos contextos son lógicamente independientes.

Bueno, para mí la única definición que tenemos es el hecho $\phi$ es la integral de tiempo de $V$ . El enlace entre $I$ y $\phi$ no es una definición, viene de una ecuación de Maxwell (la de Faraday) que nos dice esto. Entonces, para encontrar la dinámica, necesitamos otra ley física que la codificada por el EOM dictado por el Lagrangiano. Esto es lo que me perturba aquí.
@StarBucK El punto es que el Lagrangiano por sí mismo no sabe qué letras $V$ , $I$ , $\phi$ , y así sucesivamente físicamente malo. Quiero decir, esto podría ser fácilmente el Lagrangiano para ondas longitudinales en el aire, donde $I$ es la velocidad media del aire, $V$ es la presión, y así sucesivamente. Son solo letras arbitrarias.
@StarBucK Ya que queremos $V$ y $I$ para representar físicamente el voltaje y la corriente, los definimos en este formalismo en consecuencia. No hay nada raro en esto. Es como cuando escribes $F = ma$ , debe especificar qué $F$ y $m$ son para usarlo realmente. La cadena de cuatro caracteres " $F \ = \ m \ a$ no tiene sentido sin ese contexto adicional.
Para mí no es un problema de definición aquí. La única definición que tenemos es la que se relaciona $V$ y $\phi$ . Porque para mí la explicación que das aquí significaría que la segunda ecuación telegráfica que me falta es una definición de la intensidad. No es porque pudiera imaginar totalmente que la segunda ecuación del telégrafo que "pierdo" aquí sería diferente.
@StarBucK Si lo prohíbes $I$ para ser definido como lo definí, entonces, ¿cómo se especifica qué $I$ es en absoluto? Esa letra ni siquiera aparece en el Lagrangiano. El lagrangiano por sí mismo no tiene idea de qué $\phi$ representa físicamente, y no conoce las ecuaciones de Maxwell, es solo una cadena de aproximadamente 10 caracteres. Tienes que especificar el significado físico tú mismo. Así es como se hace siempre la física.
Hmmm cierto, veo lo que quieres decir, pero lo que todavía me confunde es que para obtener la segunda ecuación, lo que hice físicamente es expresar la corriente en función del flujo (supongamos que por definición de la inductancia tenemos $\Phi=L*I$ ), por lo que en este punto es una cuestión de definición. Pero para relacionar el flujo con la caída de voltaje, uso la ley de Faraday que proviene de la física. Entonces, al mismo tiempo, estoy de acuerdo, no sé cómo responder a su pregunta, pero, por otro lado, en este razonamiento necesitaba hacer uso de una de las leyes de Maxwell.
No puedo reconciliar las dos visiones contradictorias. Porque con la segunda visión significaría en algún momento que tomas la ley de Faraday como definición. Lo cual no es, en realidad es una ley que relaciona dos magnitudes físicas distintas.
@StarBucK Las cosas que son leyes en un contexto se pueden derivar en otro contexto y las definiciones en otro contexto más.
@StarBucK Cuando hacemos este formalismo lagrangiano, comenzamos desde cero, porque el formalismo debe ser autónomo. Así que tenemos que poner en las definiciones apropiadas. Las definiciones que elegimos (incluida la definición del propio Lagrangiano) están motivadas por cosas que observamos en el mundo físico. Si aplicara definiciones diferentes, el formalismo seguiría funcionando, simplemente no produciría resultados útiles.
¿Estaría de acuerdo con lo siguiente? Si quisiera escribir el Lagrangiano involucrando todas las cantidades físicas posibles (como carga, campo magnético, etc.), de hecho me faltaría esta otra ecuación de movimiento. Pero aquí, estoy restringido a estudiar solo un subconjunto de todas las cantidades físicas que existen. Entonces, en este contexto restringido, puedo tomar la segunda ecuación como una definición de lo que llamo "actual".
@StarBucK Claro, pero el punto real es que tienes que definir todas las letras que usas. Sí, en un Lagrangiano más completo, no necesitarías definir $I$ en la forma en que lo hicimos aquí. En su lugar, podría definir la letra $I$ como, digamos, $dQ/dt$ . Pero aún necesita especificar que la carta $Q$ (que presumiblemente aparece en el lagrangiano) significa la carga eléctrica.
En otro contexto que involucre más cantidades físicas (como si quisiera relacionar la variable de electricidad con el campo eléctrico/magnético), tal vez ya no podría considerarlo como una definición de corriente porque tendría otra definición de corriente proveniente de esas variables adicionales. Entonces esta otra ecuación de movimiento se convertiría entonces en una ecuación de movimiento real.
@StarBucK Quizás una forma general de resumir la lección aquí es que siempre que tenga un formalismo autónomo, se debe definir todo lo que interesa en ese formalismo. Y definido no más de una vez.
@StarBucK Es completamente aceptable que la misma letra tenga definiciones diferentes en dos formalismos diferentes . Eso no es lógicamente inconsistente porque los formalismos son, en principio, lógicamente independientes.
Sí, me aclara las cosas. De hecho, en este formalismo necesito definir $I$ en algún momento. Puedo elegir definirlo a través de $I=-\frac{1}{l_0}\partial_x \phi$ , y luego el otro EOM se deduce de esta definición sin requerir ninguna ley física adicional. Gracias. De hecho, creo que esto también respondió a mi otra pregunta (pero me aseguraré de ello)
Tal vez sería bueno si puede resumir esto en su respuesta porque realmente es lo que me causó el problema aquí. O puedo agregar una respuesta adicional que involucre esta discusión.

Cuantización de una guía de ondas: solo tiene uno de los dos EOM en su Lagrangiano. ¿Cómo puede ser correcta la cuantización?

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