¡Hot rods al espacio!

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Espacio
Fantasía
geología
temperatura
ciencia dura
megaestructuras

Verde

Con base en esta pregunta sobre un planeta con barra imposible , ¿qué tan caliente estaría la barra si se extendiera desde la mitad del manto de la Tierra hasta una altitud de 2r del radio de la Tierra? El diámetro de la barra en sí es el 20% del radio de la Tierra. La varilla está hecha de acero dulce (estamos manipulando a mano la integridad estructural del acero fundido e ignorando que una estructura tan alta colapsaría instantáneamente). Además, la varilla está fijada permanentemente a la mitad del manto. La orientación y la distancia entre el núcleo de la Tierra y la barra son puntos fijos.

Vamos a ignorar la mecánica orbital, la resistencia estructural de las megaestructuras y la resistencia estructural de la corteza terrestre que rodea esta megaestructura.

Dada la temperatura central de la Tierra y la conductividad del acero dulce, ¿qué tan alto tendría que subir una persona en la varilla para tocarla con las manos desnudas y no quemarse?

Pregunta(s) adicional(es): ¿Qué pasaría con el clima cerca de la base de la varilla donde se cruza con la tierra? Si quieres hablar sobre qué tan rápido se enfriaría por completo el núcleo de la Tierra, también está bien.

Pregunta(s) adicional(es) adicional(es): explica la mecánica orbital, la interacción con la magnetosfera y el calentamiento por compresión de la barra contra el núcleo de la tierra y la fricción con la corteza.

Recuerde, esta es una pregunta de ciencia dura . Las ecuaciones, las fuentes oficiales del gobierno y las referencias de revistas son las más apreciadas. Un mínimo de handwavium, por favor.

usuario6760

Esta pregunta sería más adecuada para la física.SE.😃

HDE 226868

@ user6760 Creo que está bien aquí.

Samuel

Supongo que está ignorando el punto de fusión del acero y el hecho de que el núcleo no puede girar con una barra que sobresale a través de la corteza.

Verde

@Samuel, el punto de fusión del acero se ignora a lo largo de la barra y suspendamos la barra a la mitad del manto. La dinámica térmica para una pregunta como esta es lo suficientemente complicada, por lo que no es necesario complicar más la pregunta con las interacciones con la magnetosfera de la Tierra. Debajo de la superficie, espero que la varilla tenga la misma temperatura que el manto circundante, por lo que no creo que deba adherirse al núcleo.

Samuel

@Green Sí, ya comencé a calcular la transferencia de calor y la temperatura en términos de distancia desde el núcleo. Es complejo, la barra es demasiado gruesa para ser considerada isotérmica para una sección transversal dada y el cambio de roca a suelo+agua, aire, vacío (¡y viceversa!) es mucho con lo que lidiar. La ciencia dura es la descripción perfecta para esto y he abandonado mi respuesta (¡no hay tiempo esta semana, no tanto!).

Verde

@Samuel, pensé que usted o HDE podrían responder esta pregunta. ¡Tome su tiempo! :) Esta pregunta es mucho más un rompecabezas divertido que cualquier cosa que necesite desesperadamente. Y teniendo en cuenta que para resolver esto en una circunstancia de la vida real se requeriría una extensa construcción de modelos CFD y tiempo de cómputo, las respuestas más aproximadas serán suficientes.

Loren Pechtel

La varilla no detendría la rotación del planeta si estuviera en uno de los polos.

Verde

@LorenPechtel Supongo que podrías, pero recuerdo haber visto un juguete para niños donde se inserta una espiga de madera corta en una esfera de madera. Luego, la varilla se hace girar y se deja caer sobre una superficie dura. En un período corto, la barra y la esfera se invierten y, en lugar de girar con el lado de la esfera hacia abajo, giran con el lado de la barra hacia abajo. No entiendo/conozco la física detrás de por qué sucede esto, pero quiero evitar tanta complejidad como sea posible.

serbio tanasa

A menos que los planetas también estén hechos de unobtanium, terminarías con un gran planeta con un pincho en el medio, ya que simplemente se deslizarían sobre la barra.

Verde

@SerbanTanasa, gracias por señalarlo. He fijado la Tierra y la barra en un marco de referencia constante.

andyd273

"Vamos a agitar manualmente todas estas cosas. Ah, sí, y ciencia pura, un mínimo de ondulaciones manuales, por favor".

Respuestas (1)

¡Hot rods al espacio!

Supongo que está ignorando el punto de fusión del acero y el hecho de que el núcleo no puede girar con una barra que sobresale a través de la corteza.
@Samuel, el punto de fusión del acero se ignora a lo largo de la barra y suspendamos la barra a la mitad del manto. La dinámica térmica para una pregunta como esta es lo suficientemente complicada, por lo que no es necesario complicar más la pregunta con las interacciones con la magnetosfera de la Tierra. Debajo de la superficie, espero que la varilla tenga la misma temperatura que el manto circundante, por lo que no creo que deba adherirse al núcleo.
@Green Sí, ya comencé a calcular la transferencia de calor y la temperatura en términos de distancia desde el núcleo. Es complejo, la barra es demasiado gruesa para ser considerada isotérmica para una sección transversal dada y el cambio de roca a suelo+agua, aire, vacío (¡y viceversa!) es mucho con lo que lidiar. La ciencia dura es la descripción perfecta para esto y he abandonado mi respuesta (¡no hay tiempo esta semana, no tanto!).
@Samuel, pensé que usted o HDE podrían responder esta pregunta. ¡Tome su tiempo! :) Esta pregunta es mucho más un rompecabezas divertido que cualquier cosa que necesite desesperadamente. Y teniendo en cuenta que para resolver esto en una circunstancia de la vida real se requeriría una extensa construcción de modelos CFD y tiempo de cómputo, las respuestas más aproximadas serán suficientes.
La varilla no detendría la rotación del planeta si estuviera en uno de los polos.
@LorenPechtel Supongo que podrías, pero recuerdo haber visto un juguete para niños donde se inserta una espiga de madera corta en una esfera de madera. Luego, la varilla se hace girar y se deja caer sobre una superficie dura. En un período corto, la barra y la esfera se invierten y, en lugar de girar con el lado de la esfera hacia abajo, giran con el lado de la barra hacia abajo. No entiendo/conozco la física detrás de por qué sucede esto, pero quiero evitar tanta complejidad como sea posible.
A menos que los planetas también estén hechos de unobtanium, terminarías con un gran planeta con un pincho en el medio, ya que simplemente se deslizarían sobre la barra.
@SerbanTanasa, gracias por señalarlo. He fijado la Tierra y la barra en un marco de referencia constante.
"Vamos a agitar manualmente todas estas cosas. Ah, sí, y ciencia pura, un mínimo de ondulaciones manuales, por favor".

HDE 226868 · Answer 1

Como primera aproximación, tratamos la barra como una barra unidimensional de longitud $L$ . En cada extremo hay una fuente de calor (los mantos de cada una de las dos "Tierras". Podemos comenzar a modelar el sistema siguiendo la ecuación de calor unidimensional :

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^{2} T}{\partial X^{2}} \end{matrix}

$\frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{\partial^2T}{\partial x^2}\tag{1}$ dónde

T

$T$ representa la temperatura,

x

$x$ es la distancia desde un extremo de la varilla,

t

$t$ es tiempo y

k

$k$ es una constante, la difusividad térmica . Considere un caso con las siguientes condiciones de contorno:

T (0, t) = T_{1}, T (L, t) = T_{2}, T (X, 0) = F (X)

$T(0,t)=T_1,\quad T(L,t)=T_2,\quad T(x,0)=f(x)$ La primera condición se debe a que ambas fuentes de calor son idénticas. Podemos usar el método de separación de variables para llegar a nuestra solución :

T (X, t) = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1}}{L} X + \sum_{norte = 1}^{\infty} B_{norte} pecado (\frac{norte π X}{L}) {mi}^{- k {(\frac{norte π}{L})}^{2} t}

$T(x,t)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$ dónde

B_{norte} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} (F (X) - {tu}_{mi} (X)) pecado (\frac{norte π X}{L}) d X, {tu}_{mi} (X) = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1}}{L} X

$B_n=\frac{2}{L}\int_0^L(f(x)-u_E(x))\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\quad u_E(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x$ En nuestro caso,

T_{1} = T_{2}

$T_1=T_2$ y

f (x) = T_{0}

$f(x)=T_0$ es uniforme Entonces sí

Δ T = T_{0} - T_{1}

$\Delta T=T_0-T_1$ ,

B_{norte} = \frac{2 Δ T (1 - porque (π norte))}{π norte}

$B_n=\frac{2\Delta T(1-\cos(\pi n))}{\pi n}$ y

T (X, t) = T_{1} + 2 Δ T \sum_{norte = 1}^{\infty} (\frac{1 - porque (π norte)}{π norte}) pecado (\frac{norte π X}{L}) {mi}^{- k {(\frac{norte π}{L})}^{2} t}

$T(x,t)=T_1+2\Delta T\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-\cos(\pi n)}{\pi n}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$ Wikipedia cita que el acero tiene aproximadamente

k = 2 \times 10^{- 5} m^{2} s^{- 1}

$k=2\times10^{-5}\text{ m}^2\text{ s}^{-1}$ . Digamos

L = 4 R_{\oplus}

$L=4R_{\oplus}$ ,

T_{1} = T_{2} = 6000 K

$T_1=T_2=6000\text{ K}$ ( según estimaciones ), y

T_{0} = 300 K

$T_0=300\text{ K}$ .

Resulta que el puente entre los núcleos se calienta muy lentamente. Calculé los primeros 100 términos de $T(x,t)$ en una variedad de momentos, y los trazó.

Las fuertes oscilaciones en los extremos son solo ejemplos del fenómeno de Gibbs y no tienen significado físico.

Se vuelve peligroso caminar sobre la vara después de escalas de tiempo de más de 100 millones a mil millones de años, por lo que puedo decir. El centro debe permanecer habitable.

Hay un par de cosas que no hemos considerado:

Enfriamiento radiativo, que creo que será importante. Esto también podría significar que los extremos de las varillas, al menos, las secciones que sobresalen inmediatamente de las superficies de los planetas, podrían parecer bastante brillantes. ¡Después de todo, 6000 K es aproximadamente la temperatura de la superficie del Sol!
El hecho de que la varilla sea un cilindro, no unidimensional. Sin embargo, no creo que este sea un factor importante cuando se trata de las escalas de tiempo relevantes, especialmente si la barra es delgada.
Los extremos de la varilla están incrustados dentro de los planetas y el calor se difundirá en las capas exteriores de los planetas. También debe haber un gradiente distinto de cero en los núcleos, en $t=0$ .
Las atmósferas tienen un impacto en la circulación de la temperatura; las secciones (más frías) de la atmósfera alrededor de los dos planetas deben absorber el calor de las secciones (más calientes) alrededor de la barra.

Dicho esto, creo que este modelo 1-D simple puede darnos una estimación del orden de magnitud.

No soy físico ni ingeniero mecánico, pero creo que su enfoque es sólido.
Por un lado, está ignorando el enfriamiento radiativo una vez que la varilla sale de la corteza. Por otro lado, está aplicando mal el gradiente geotérmico, ya que el calor se difundirá lejos de la varilla hacia la corteza tan pronto como la temperatura de la varilla supere la temperatura del gradiente. Por otro lado, las temperaturas atmosféricas no son suficientes: también debe tener en cuenta tanto el cambio de densidad como el enfriamiento adicional causado por las corrientes masivas de convección que acompañarán al aumento de las temperaturas.
Sin embargo, definitivamente va en la dirección correcta :)
Ya mencioné en el chat, pero para aquellos que no van allí, les faltan algunos puntos (hasta ahora), como las variaciones día-noche, la influencia del clima y las variaciones estacionales. Todos esos harán algunas diferencias. Pero, y quizás lo más importante, la vara influirá en su entorno. Intuitivamente, podría comenzar a enfriar la Tierra y afectar el clima. Al principio de cerca y con efecto mariposa sobre toda la superficie de la Tierra. Esos afectarán cualquier valor que realmente pongas en tu modelo. Entonces, como lo tiene Tim, sí, es un buen punto de partida. Aunque la pregunta puede ser un poco exigente...
Cuando comencé a calcular esto, encontré este documento increíblemente útil. Puede tratar la barra como una aleta de alfiler en un fluido (excepto que en el espacio deja de restar la Q perdida por convección a los lados de la barra).
@WhatRoughBeast Esta es una aproximación discontinua. Estuve fuera por dos días, y ciertamente no tengo la intención de dejarlo así.

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