Horizontes y otras superficies especiales en métrica Kerr

Question

Horizontes y otras superficies especiales en métrica Kerr

Perro de aguas de PC

La métrica de Kerr es

d s^{2} = - (1 - \frac{2 GRAMO METRO r}{ρ^{2}}) d t^{2} - \frac{2 GRAMO METRO r a}{ρ^{2}} {pecado}^{2} θ (d t d ϕ + d ϕ d t) + \frac{ρ^{2}}{Δ} d r^{2} + ρ^{2} d θ^{2} + \frac{{pecado}^{2} θ}{ρ^{2}} [(r^{2} + a^{2})^{2} - a^{2} Δ {pecado}^{2} θ] d ϕ^{2}

$\begin{equation} ds^2 = - \big(1-\frac{2GMr}{\rho^2}\big)dt^2-\frac{2GMra}{\rho^2}\sin^2 \theta \big(dtd\phi+d\phi dt\big)+ \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2+\rho^2 d\theta^2 + \frac{\sin^2 \theta}{\rho^2}\big[(r^2+a^2)^2-a^2\Delta\sin^2\theta\big]d\phi^2 \end{equation}$

dónde

ρ^{2} = r^{2} + a^{2} {pecado}^{2} θ Δ = r^{2} - 2 GRAMO METRO r + a^{2}

$\begin{equation} \rho^2= r^2+a^2\sin^2\theta \\ \Delta = r^2 -2GMr + a^2 \end{equation}$

Las posiciones interesantes son los puntos donde $g_{rr}\rightarrow \infty$ y aquellos donde $g_{tt}\rightarrow 0$ ya que están relacionados con las superficies donde ciertos vectores Killing cambian de espacio a tiempo o viceversa (sé que hacer este tipo de afirmación sobre la métrica en realidad depende de las coordenadas, pero todos los libros, como Carroll o Misner, hacen esto para encontrar el horizontes). Los radios interesantes son

{gramo}_{r r} \to \infty en R_{\pm}^{(r)} = GRAMO METRO \pm \sqrt{(GRAMO METRO)^{2} - a^{2}} {gramo}_{t t} \to 0 en R_{\pm}^{(t)} = GRAMO METRO \pm \sqrt{(GRAMO METRO)^{2} - a^{2} {porque}^{2} θ}

$\begin{equation} g_{rr}\rightarrow \infty \ \ \ \ \ \text{at} \ \ \ \ \ R^{(r)}_{\pm}=GM \pm \sqrt{(GM)^2-a^2}\\ g_{tt}\rightarrow 0 \ \ \ \ \ \text{at} \ \ \ \ \ R^{(t)}_{\pm}=GM \pm \sqrt{(GM)^2-a^2\cos^2\theta} \end{equation}$

Si entendí bien, el más grande es $R^{(t)}_{+}$ , que es el comienzo de la ergosfera, también llamada superficie límite estacionaria o superficie infinita de corrimiento al rojo. Entonces obtenemos $R^{(r)}_{+}$ que es el horizonte exterior, donde la velocidad de escape se vuelve mayor que c. Entonces tenemos el horizonte interior $R^{(r)}_{-}$ donde la métrica "vuelve a la normalidad" en el sentido de que el componente radial vuelve a ser similar al espacio para que pueda salir del agujero negro.

Este es el tratamiento habitual en todos los libros que revisé (Carroll, Wald, Misner, etc.). Pero nadie parece hablar de $R^{(t)}_{-}$ . ¿Qué pasa con ese radio? ¿Tiene alguna propiedad especial? ¿Es solo un artefacto de las coordenadas que estamos usando? ¿No tiene sentido de alguna otra manera porque está demasiado profundo en el Agujero Negro?

Javier

Esperaría que fuera la ergosfera del próximo universo al otro lado del agujero negro. ¿Has mirado el diagrama de Penrose para la métrica de Kerr? Es bastante salvaje.

Javier

Agregando a mi comentario: ayudaría si nos dijera si sabe qué es un diagrama de Penrose y cómo se ve para la métrica de Kerr. O en general, si conoces la extensión máxima del agujero negro de Kerr, con sus infinitos universos.

Perro de aguas de PC

¡Hola! Sé qué es un Diagrama de Penrose y también sé cómo funciona la extensión máxima de Kerr BH. Sin embargo, no vi ninguna mención sobre la posición radial sobre la que pregunto en la literatura.

Respuestas (2)

Horizontes y otras superficies especiales en métrica Kerr

Esperaría que fuera la ergosfera del próximo universo al otro lado del agujero negro. ¿Has mirado el diagrama de Penrose para la métrica de Kerr? Es bastante salvaje.
Agregando a mi comentario: ayudaría si nos dijera si sabe qué es un diagrama de Penrose y cómo se ve para la métrica de Kerr. O en general, si conoces la extensión máxima del agujero negro de Kerr, con sus infinitos universos.
¡Hola! Sé qué es un Diagrama de Penrose y también sé cómo funciona la extensión máxima de Kerr BH. Sin embargo, no vi ninguna mención sobre la posición radial sobre la que pregunto en la literatura.

Javier · Answer 1

Respuesta corta: es el borde interior de la ergosfera (o ergoregión), $R^{(t)}_+$ siendo el borde exterior. Sigue una respuesta más larga.

el componente radial vuelve a ser similar al espacio para que pueda salir del agujero negro.

Tenga cuidado con esto: puede salir del agujero negro, pero no por el mismo lugar por el que entró. Contemos la historia con cuidado por si acaso. A medida que se acerca a un agujero negro de Kerr, hay algunos puntos de control diferentes:

Cuando cruzas la ergosfera, no puedes evitar girar con el agujero negro. Tu movimiento radial no tiene restricciones, por lo que puedes irte si quieres, pero no puedes quedarte quieto (con respecto al infinito): $\partial_t$ es espacial, y necesita agregar algunos $\partial_\phi$ para que sea temporal.
Entonces tienes los dos horizontes, uno dentro del otro. Cuando cruzas el exterior, $r$ se vuelve decreciente a medida que pasa el tiempo, por lo que eventualmente cruzarás el interior. Esta es una especie de región de transición, que solo puedes cruzar en una dirección. Y esto es importante: ya que $g_{tt}$ , $g_{rr}$ y $g_{\theta\theta}$ son todos positivos, ninguna trayectoria con constante $\phi$ puede ser temporal. Es decir, todavía tienes que girar con el agujero negro.
Finalmente llegas al interior, donde está la singularidad en forma de anillo. Ahora puedes cambiar tu $r$ a voluntad, así que si quieres puedes volver a salir, ¡pero no por donde entraste! Después de todo, en la región de transición solo puedes moverte hacia adentro. Si vuelves a cruzar el horizonte interior, te desplazarás hacia el exterior a través de un agujero blanco y finalmente entrarás en un universo diferente. Saliste del agujero blanco, pero si quieres puedes volver a caer (ya que en el futuro se convierte en un agujero negro), y repetir todo tantas veces como quieras.
Ahora, el punto principal: cuando ingresas a la región interior, $g_{tt}$ , $g_{rr}$ y $g_{\theta\theta}$ siguen siendo positivos, por lo que sigues girando con el agujero negro. Si te acercas a la singularidad, eventualmente cruzarás $R^{(t)}_-$ , y finalmente eres libre de moverte como quieras. En términos más técnicos, puede volverse estacionario con respecto a las coordenadas habituales.

El $r = R^{(t)}_-$ superficie es una especie de elipsoide como $R^{(t)}_+$ , pero alto en lugar de ancho: toca el horizonte interior en los polos y luego se vuelve más delgado, eventualmente tocando la singularidad en $\theta=\pi/2$ .

"Saliste del agujero blanco, pero si quieres puedes volver a caer (ya que en el futuro se convierte en un agujero negro)" - no puedes volver a entrar, ya que después de salir del agujero blanco tu τ aumenta mientras los nuevos universos t disminuye, por lo que viajaría hacia atrás en el tiempo contable mientras su tiempo propio avanza (suponiendo que sobreviva al infinito desplazamiento hacia el azul cuando abandone el horizonte de Cauchy, ya que mientras lo cruza se mueve todo el camino hacia el futuro infinito y regresa al futuro). una pequeña cantidad de tiempo adecuado y toda la luz que cae te golpea a la vez, pero esa es otra historia)
@Yukterez No creo que eso sea cierto, tampoco creo que sea demasiado útil para seguir usándolo $t$ como una coordenada razonable. Si observa un diagrama de Penrose, puede ver que después de cruzar el interior del agujero negro y salir del agujero blanco, moverse hacia el futuro puede conducirlo eventualmente a otro agujero negro. En cuanto al espacio, está en el mismo lugar que el agujero blanco, pero conduce más hacia el futuro.
Cuando usa las coordenadas de Kerr-Schild tipo Finkelstein, puede ver que la t explota hasta el infinito cuando sale del horizonte interior, y cuanto más transcurre, más fotones del exterior caen y lo golpean. El t es una coordenada de tiempo razonable, lejos del agujero negro es el tiempo adecuado de un observador, puede enviar fotones al agujero negro en intervalos t y todos te golpean a la vez cuando sales del horizonte interior, eso se puede ver al resolver las geodésicas. Las coordenadas Doran similares a las gotas de lluvia también muestran que eres golpeado por infinitas gotas de lluvia cuando sales del horizonte interior.
Debido al corrimiento al rojo cósmico, no habrá una cantidad infinita de fotones y gotas de lluvia, pero todos los fotones y gotas de lluvia que caen hasta el infinito futuro lo golpearán en un período infinitesimal de tiempo adecuado τ, por lo que el corrimiento al azul sigue siendo infinito aunque el total la energía debe ser finita; consulte el diagrama de Penrose en youtube.com/watch?v=ETn6aOzwmr4&t=19m46s
@Yukterez ese es un buen punto, aunque ¿no podría decirse lo mismo del horizonte de un agujero negro de Schwarzschild? Pero de todos modos, no necesito un observador realista para sobrevivir; solo estaba describiendo las diferentes regiones dentro de un agujero negro de Kerr.
No, con un agujero negro de Schwarzschild, el observador que cae recibe una señal desplazada hacia el rojo desde el exterior, solo si permanece en el horizonte, el desplazamiento hacia el azul se vuelve infinito, pero es imposible permanecer en el horizonte. Los fotones que caen se acumulan en el horizonte desde la perspectiva del contador de coordenadas, pero no alcanzan al que cae, puedes calcular que hay un número finito de señales que puedes recibir hasta que cruzas el horizonte. Pero cuando sales del horizonte interior de un agujero negro de Kerr, los fotones se cruzan en tu camino.

Yukterez · Answer 2

Cuando $g_{rr} \to \infty$ o $g^{tt} \to \infty$ obtienes el horizonte donde está el punto de no retorno donde incluso una partícula de prueba que viaja a la velocidad de la luz y radialmente hacia afuera no puede salir.

Con $g_{tt} \to 0$ obtienes la ergosfera , que es el radio en el que un observador que está estacionario con respecto a las estrellas fijas o el fondo asintóticamente plano tendría que viajar localmente a la velocidad de la luz en dirección retrógrada con respecto a un local y el marco arrastró ZAMO en orden mantener una coordenada radial constante.

Entonces, ese es el radio por debajo del cual ya no puede permanecer en reposo en relación con un observador lejano porque, por lo tanto, necesitaría una velocidad relativa de $v \geq c$ con respecto a un observador local y corrotatorio.

Abajo $g_{rr} \to \infty$ o $g^{tt} \to \infty$ ya no puede mantener una coordenada radial fija, y debajo $g_{tt} \to 0$ ya no puede mantener una coordenada angular fija ya que $g_{t \phi} \neq 0$ (dónde $t$ y $\phi$ son el tiempo y el ángulo observados por el contable lejano, cuyo marco de referencia se utiliza para las coordenadas de Boyer Lindquist).

Otra forma de verlo es la dilatación del tiempo, que se vuelve infinita para un ZAMO corrotante cuando $g^{tt} \to \infty$ , e infinito para un observador estacionario cuando $g_{tt} \to 0$ (estacionario con respecto a las estrellas fijas, lo que requiere una velocidad retrógrada local superior a $c$ , por lo tanto la dilatación infinita del tiempo).

"partícula que viaja con la velocidad de la luz y radialmente hacia afuera no puede salir", diría que: el cono de luz está tan inclinado que, a menos que pueda atrapar y pasar un frente de onda de luz, no hay forma de aumentar r y acceder al afuera.

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