Historia de la investigación de la gravedad de la superficie lunar y marciana

Hay dos pequeñas lunas de Marte llamadas Fobos y Deimos descubiertas en 1877. Usando la mecánica orbital, la masa de Marte podría calcularse a partir del período orbital observado y el diámetro de la órbita de las lunas marcianas. Usando el diámetro de Marte a partir de mediciones astronómicas, se podría calcular la gravedad de la superficie.

Antes de la era espacial, el diámetro de la órbita de las lunas marcianas, así como el diámetro de Marte, podían estimarse utilizando telescopios terrestres únicamente. La precisión de esas medidas estaba limitada por la enorme distancia entre la Tierra y Marte.

El período orbital de una luna pequeña es:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \\ \\ r \text{ orbital radius}, M \text{ mass of planet}, G \text{ gravitational constant}$$

La masa de la luna debería ser insignificante en comparación con la masa del planeta.

Resolviendo la ecuación para la masa de los planetas:

$$M = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2G}$$

Esta ecuación es muy sensible a errores del radio orbital debido a la tercera potencia y sensible a errores del período orbital debido a la segunda potencia. Los errores de la constante gravitatoria son menos importantes.

La gravedad superficial de un cuerpo celeste es:

$$g = G \frac{M}{r^2} \\ M \text{ body mass, } r \text{ body radius}$$

Un pequeño script de Python para calcular la masa y la gravedad de Marte a partir de los datos orbitales de las lunas:

import numpy as np

pi = np.pi
G = 6.6743015E-11       # gravitational constant

def mass(radius, period):   # calculate planet mass using moon orbit data
    m = 4.0 * pi*pi * radius*radius*radius / ( period*period * G)
    return m

def gravity(mass, radius):  # calculate planet surface gravity from mass and radius
    g = G * mass / (radius*radius)
    return g

def days_to_seconds(days):  # calculate time in seconds from days
    return days * 24.0 * 3600.0

#orbital data for Deimos
r_Deimos = 23459E3  # orbital radius in meters
P_Deimos = days_to_seconds(1.2624)   # orbital period in seconds

#orbital data for Phobos
r_Phobos = 9378E3  # orbital radius in meters
P_Phobos = days_to_seconds(0.3189)   # orbital period in seconds

m_D = mass(r_Deimos, P_Deimos)
m_P = mass(r_Phobos, P_Phobos)

print('mass of Mars using the orbit of Deimos in kg',"{:1.3e}".format(m_D))
print('mass of Mars using the orbit of Phobos in kg', "{:1.3e}".format(m_P))

r_M_eq = 0.5*6792.4E3 # equatorial radius of Mars in meters

print()
print('gravity of Mars using the orbit of Deimos', "{:1.3f}".format(gravity(m_D, r_M_eq)))
print('gravity of Mars using the orbit of Phobos', "{:1.3f}".format(gravity(m_P, r_M_eq)))

resultados:

mass of Mars using the orbit of Deimos in kg 6.419e+23
mass of Mars using the orbit of Phobos in kg 6.426e+23

gravity of Mars using the orbit of Deimos 3.714
gravity of Mars using the orbit of Phobos 3.718

Esta técnica fue utilizada por astrónomos holandeses en 1927 para estimar la masa de Marte con una precisión del 0,2 %. Este notable resultado requiere una precisión de solo 0,067 % para el radio orbital. Para el radio de 23459 km es solo +- 15 km.

No existe un satélite natural de nuestra Luna, por lo que el método utilizado anteriormente no podría usarse para determinar la gravedad de la Luna. Pero la Luna no gira alrededor del centro de la Tierra, ambas giran alrededor de su centro de gravedad común. Este movimiento de la Tierra se puede medir y permite una estimación de la relación entre la masa de la Luna y la masa de la Tierra.

La masa de la Tierra podría calcularse a partir de las mediciones de la gravedad de la superficie y el radio de la Tierra. Usando la proporción desde arriba, se podría calcular la Masa de la Luna.

Más detalles en Pesar la Luna y Medir la masa de la Luna .

En 1940 se publicó un valor muy preciso, con pequeñas mejoras entre 1960 y 2000. Figura de Medición de la masa lunar.

Entonces, la gravedad de la Luna y Marte podría estimarse décadas antes de la era espacial, pero con una precisión muy limitada.

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De Pierre-Simon Laplace de Wikipedia :

Ecuaciones de mareas de Laplace

En 1776, Laplace formuló un solo conjunto de ecuaciones diferenciales parciales lineales , para el flujo de marea descrito como un flujo laminar bidimensional barotrópico. Se introducen los efectos de Coriolis y el forzamiento lateral por gravedad. Laplace obtuvo estas ecuaciones simplificando las ecuaciones de dinámica de fluidos. Pero también pueden derivarse de integrales de energía a través de la ecuación de Lagrange.

Para una capa fluida de espesor promedio D, la elevación de la marea vertical ζ, así como los componentes de la velocidad horizontal u y v (en las direcciones de latitud φ y longitud λ, respectivamente) satisfacen las ecuaciones de marea de Laplace ⁴⁶ ...

⁴⁶ Las ecuaciones de mareas de Laplace y las mareas atmosféricas por David A. Randall.

Ver también:

• Una derivación de la ecuación de mareas de Laplace a partir de la teoría de las oscilaciones inerciales (CL Pekeris, 1975)
• Conferencia 3: Soluciones a las ecuaciones de marea de Laplace , Myrl Hendershott
• 11. Ecuaciones de mareas de Laplace en la esfera
• Ecuaciones de mareas de Laplace

Respondiendo a tu primer párrafo:

¿Pero Newton ya calculó que la gravedad de la Luna era aproximadamente una sexta parte de la de la Tierra?

Sus cálculos estaban mal. Principia Mathematica , volumen 3, proposición XXXVII es "Encontrar la fuerza de la Luna para mover el mar". El corolario 1 encuentra la relación entre la fuerza del Sol sobre las mareas y la fuerza de la Luna sobre las mareas. El corolario 2 encuentra la relación entre la fuerza de la Luna sobre las mareas y la gravedad de la Tierra. El corolario 3 encuentra la relación de las densidades de la Luna y la Tierra:

por lo tanto, la densidad de la Tierra es a la densidad de la Luna como 4891 a 4000, o como 11 a 9. Por lo tanto, el cuerpo de la Luna es más denso y terrenal que la Tierra misma.

Hace una afirmación similar anteriormente (proposición VII corolario 3: "La Luna es más densa que la Tierra, como se verá después"). Pero estaba equivocado; la densidad media de la Luna es de 3346 kg/m$^3$y de la tierra 5515 kg/m$^3$.

El corolario 4 encuentra la relación entre la masa de la Luna y la masa de la Tierra:

la masa de materia en la Luna será a la materia de la masa de la Tierra como 1 a 39,788.

De nuevo, está equivocado. La relación de masa real es de aproximadamente 81,3.

Finalmente, en el corolario 5 , comparó la aceleración superficial debida a la gravedad:

Y la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna será unas tres veces menor que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.

El valor real es aproximadamente 1/6, no 1/3. Sin embargo, considerando que todos los cálculos de Newton se derivaron de observaciones usando telescopios de su época, no es una mala aproximación.

Según un artículo de la revista ADS de la NASA, Medición de la masa lunar :

Se puede observar que la masa lunar se conocía en aproximadamente +/- 50 % entre 1687 y 1755, +/- 10 % entre 1755 y 1830, +/- 3 % entre 1830 y 1900, +/- 0,15 % entre 1900 y 1968, y +/- 0,0001% entre 1968 y el presente [2002].

En 1900, el tamaño y la distancia de la luna se determinaron con gran precisión , lo que combinado con la masa dio una buena estimación de la gravedad de la superficie lunar.

Esta respuesta es realmente un comentario largo: no responde la pregunta como tal, sino que le dice algunas formas en las que probablemente no pueda medir la masa de la Luna en particular, pero con un corolario interesante.

Una cosa tentadora es decir: bueno, la gravedad de la Luna debería alterarse$g$en la Tierra: ¿podemos medir eso? Bueno, supongamos que la Luna y la Tierra son esféricamente simétricas (esto va a ser un gran problema) y veamos cuál es la variación. Bien:

$$\begin{align} g_0 &= \frac{GM}{R^2}&&\text{$M,R$ mass, radius of Earth resp.}\\ g_{+} &= \frac{GM}{R^2} + \frac{Gm}{(r + R)^2}&&\text{$m,r$ mass, distance of Moon resp.}\\ g_{-} &= \frac{GM}{R^2} - \frac{Gm}{(r - R)^2} \end{align}$$

Y luego lo interesante de calcular es

$$\frac{\Delta g}{g} \equiv \frac{g_{+} - g_{-}}{g_0}$$

Lo que le dice con qué precisión necesita medir$g$para poder detectar la Luna.

Bueno, si haces este cálculo obtienes$\Delta g / g \approx 6.7\times 10^{-6}$: tendrías que ser capaz de medir$g$a unas pocas partes por millón para poder ver la influencia de la Luna, y mucho mejor que eso para obtener una estimación razonable de la masa de la Luna.

E hice una suposición grande y errónea arriba: que la Tierra y la Luna son esféricas. Bueno, la Tierra no lo es, y su forma cambia dependiendo de dónde esté la Luna y, lo que es peor, los océanos se mueven de manera complicada dependiendo de dónde esté la Luna. Y todas estas cosas alteran$g$. Lamentablemente, medir la masa de la Luna de esta manera no tiene remedio.

Pero pero. ¿Podrías incluso detectar que la Luna estaba allí de esta manera? Un enfoque sería tener algún dispositivo que midiera$g$, durante largos períodos de tiempo, y luego vea si puede ver cambios periódicos en$g$que correspondía a la Luna.

Bueno, tal dispositivo se llama reloj: un reloj de péndulo es sensible a$g$, y si hicieras un buen reloj de péndulo, ¿"escucharía" la Luna? La respuesta es sí, lo haría. Y en 1986 alguien llamado Boucheron hizo este experimento: registraron el cronometraje de un muy buen reloj de péndulo (Shortt número 41) durante casi un año y luego fue analizado, primero por Boucheron y luego por Philip Woodward. Y si miras el espectro de frecuencias del reloj puedes ver, muy claramente, una serie de picos que corresponden al Sol y la Luna.

Desafortunadamente, hay dos problemas con este maravilloso experimento:

• necesita poder medir el cronometraje del reloj con algo más preciso que el reloj; esto fue posible en 1986 usando un reloj atómico, pero no fue posible cuando estos relojes eran los mejores relojes que existían;
• el reloj puede 'oír' la Luna, pero no distingue entre el cambio de$g$debido al efecto gravitacional directo de la Luna y el debido a las mareas y la deformación de la Tierra.

Philip Woodward informa sobre este experimento en My own right time , que tiene referencias a los artículos originales (que no he leído).

Entonces, en resumen: medir la masa de la Luna midiendo$g$no era plausible cuando era una de las formas que podría elegir para medir la masa de la Luna, porque la precisión necesaria era demasiado grande.