¿Hay un punto en el que la espaguetización es más alta?

Una fuerza de marea ocurre porque diferentes partes del objeto que cae intentan moverse a lo largo de diferentes geodésicas. Supongamos que tomamos el 3-vector$\eta$como la distancia entre dos puntos, entonces podemos calcular cuánto$\eta$cambia a medida que el objeto cae hacia adentro. Si$\eta$es constante, entonces la distancia entre los puntos no cambia y no hay fuerza de marea. Si$\eta$está aumentando, entonces los puntos se están estirando, mientras que si$\eta$está disminuyendo los puntos se están comprimiendo juntos.

De todos modos, después de un frenético rascado con bolígrafo (los detalles se pueden encontrar en cualquier libro de texto de GR) obtenemos:

$$\frac{D^2\eta^r}{d\tau^2} = \frac{r_s}{r^3}\eta^r$$

$$\frac{D^2\eta^\theta}{d\tau^2} = -\frac{r_s}{2r^3}\eta^\theta$$

$$\frac{D^2\eta^\phi}{d\tau^2} = -\frac{r_s}{2r^3}\eta^\phi$$

dónde$r$,$\theta$y$\phi$son las coordenadas espaciales de Schwarzschild y$r_s$es el radio de Schwarzschild$r_s = 2GM/c^2$.$D$es la derivada covariante. Las cantidades del lado izquierdo son efectivamente una aceleración, por lo que son una fuerza por unidad de masa que podemos interpretar como una fuerza de marea.

El punto de todo esto es que las fuerzas de marea son proporcionales a$1/r^3$. Esto significa que son mejores en$r \rightarrow 0$es decir, alcanzan un máximo cuando el objeto que cae alcanza la singularidad.

Tenga en cuenta que las fuerzas de marea son finitas en cualquier valor de$r \gt 0$por lo que son finitos en el horizonte de sucesos. De hecho en el horizonte, es decir, cuando$r = r_s$, obtenemos (mostraré solo la ecuación radial):

$$\frac{D^2\eta^r}{d\tau^2} = \frac{1}{r_s^2}\eta^r = \frac{c^4}{4G^2M^2}\eta^r$$

Entonces, la fuerza de marea en el horizonte disminuye como el cuadrado inverso de la masa del agujero negro.