Hallar los niveles de energía electrónica mediante la teoría de la representación

Dejar

tu = ( C 1 C 2 C 3 C 4 ) T
para
ψ = C 1 ψ 1 + C 2 ψ 2 + C 3 ψ 3 + C 4 ψ 4

Asumimos que ⟨ ψ i | ψ j ⟩ = d i j de modo que

⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ = | C 1 | 2 + . . . + | C 4 | 2

Dejar tu sea ​​la representación del grupo de simetría C 4 v en estos espacios de estado de 4 dimensiones de electrones.

lo se por cualquiera R ∈ C 4 v , T ( R ) tu es también un vector propio con el mismo valor propio:

(1) H ( T ( R ) tu ) = ϵ ( T ( R ) tu )
Aquí está mi pregunta:

  • Supongamos que nuestro hamiltoniano se da como
    H = ( ϵ 0 t t ′ t t ϵ 0 t t ′ t ′ t ϵ 0 t t t ′ t ϵ 0 )

¿Cómo puedo encontrar valores propios de energía de H utilizando la descomposición de tu y ecuación ( 1 ) ?

Nota: Encontré la descomposición como

tu = A 1 ⊕ mi

Respuestas (1)

Bueno, es posible que realmente no quieras pensar demasiado. Todo gira en torno a la matriz de Pauli. σ 1 que, sí, es el grupo de permutación con dos componentes, con valores propios ± 1 para v T = ( 1 , 1 ) , simétrica y w T = ( 1 , − 1 ) , antisimétrica, respectivamente.

De manera equivalente a su descomposición, puede escribir el hamiltoniano como

H = ϵ 0 I 4 + t   ( σ 1 + I 2 ) ⊗ σ 1 + t ′   σ 1 ⊗ I 2 ,
donde mi convención inserta el factor 2x2 del producto tensorial derecho en las entradas del factor 2x2 izquierdo. Por supuesto, el tercer término multiplicado por el segundo término da como resultado el segundo término, si se ignoran los coeficientes numéricos t , t' .

Entonces es evidente por inspección que ϵ 0 es un cambio aditivo común a todos los valores propios; y que los cuatro vectores propios son inevitablemente v ⊗ v , v ⊗ w , w ⊗ v , w ⊗ w , con autovalores manifiestos 2 t + t' ; -2 t + t' ; - t' ; - t' , respectivamente. entonces agrega ϵ 0 a todos ellos por hacer. Al insertar el vector derecho en los componentes del izquierdo, puede recuperar los 4 vectores y verificarlos, subvirtiendo la intención implícita algebraica original del ejercicio.

Obsérvese el tercer término de los cuadrados hamiltonianos a la identidad, el segundo proyecta w sobre el espacio tensorial izquierdo, mientras que el tercero actúa indiferentemente (idénticamente) sobre el espacio tensorial derecho, de ahí la degeneración entre los vectores propios 3 y 4, y la pieza t' idéntica del valor propio de la 1ª y la 2ª.

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