Hallar la expresión del tiempo que tarda un tanque de agua en estar medio vacío

El problema es encontrar una expresión para el tiempo que tarda un tanque cilíndrico de agua en estar medio vacío. Me dan que el tanque de agua tiene un diámetro de$D_0$y una altura$H$. La salida de agua se coloca en el fondo del tanque de agua y tiene un diámetro$D$.

Estoy usando la ecuación de Bernoulli para encontrar la velocidad para tener la expresión$v=\sqrt{2gH}$, porque ambas presiones son atmosféricas.

El método que utilicé para encontrar la expresión del tiempo que tardó el tanque de agua en estar medio vacío, es dividir el volumen del tanque por el caudal:

$t=\frac{V}{\dot V}$.

La expresión para el volumen de la mitad del tanque de agua (se supone que debemos calcular el tiempo que tarda en fluir la mitad del volumen y, por lo tanto, aquí solo se usa la mitad del volumen):

$V=A\cdot H=\frac{\pi}{4} D_0^2 \frac{1}{2}H$=$\frac{\pi}{8} D_0^2H$

mientras que la expresión para el caudal es:

$\dot V=A\cdot v=\frac{\pi}{4} D^2\sqrt{2gH}$

La expresión para el tiempo entonces se convierte en:

$t=\frac{\frac{\pi}{8} D_0^2H}{\frac{\pi}{4} D^2\sqrt{2gH}}=(\frac{D_0}{D})^2\frac{H}{2\sqrt{2gH}}=\frac{1}{2}(\frac{D_0}{D})^2\sqrt{\frac{H}{2g}}$.

Mi libro usa eso

$dV=\frac{\pi}{4}D^2\sqrt{2gz}dt$

y eso$dV$también se puede expresar como:

$dV=A_{tank}(-dz)=-\frac{\pi}{4}D_0^2dz$

Estas dos expresiones para$dV$luego se igualan entre sí y se resuelven para$dt$. Luego se integra esta expresión y el resultado es el siguiente:

$t=(\frac{D_0}{D})^2 \frac{1}{\sqrt{2g}}(\sqrt{H}-\sqrt{\frac{H}{2}})$

Mi pregunta es, por lo tanto, ¿por qué el primer método no da la misma respuesta para el tiempo que el segundo método?