Función de onda. Medida de la ausencia

Imagina que tenemos una partícula en un estado propio de un hamiltoniano, con el paso del tiempo permanecerá en ese estado.

Suponemos en esta pregunta que la posición puede tomar un continuo de valores.

Si medimos la posición de la partícula en X 0 su función de onda colapsará y la nueva función de onda ψ ( X , t 0 ) = d ( X − X 0 ) que evolucionará en el tiempo como una superposición de estados propios del hamiltoniano.

Ahora bien, si en lugar de medir la posición de la partícula, que inicialmente se encuentra en un estado propio del hamiltoniano, medimos si la partícula se encuentra en un rango determinado X ∈ [ X a , X b ] en t 0 , donde la función de onda es distinta de cero en este rango, y con [ X a , X b ] diferente a toda la gama de X , y encontramos que la partícula no está allí. ¿Continúa la partícula en el mismo estado propio del hamiltoniano? Porque ahora sabemos con certeza que la función de onda en t 0 era cero en esa región, ¿debemos entonces tomar otra función de onda que cumpla con este requisito? Supongo que sería bastante ingenuo simplemente tomar la función de onda del estado propio del hamiltoniano que teníamos originalmente y convertirlo en cero a través del rango [ X a , X b ] y normalizar nuevamente y expresarlo como una superposición de los estados propios del hamiltoniano para estudiar su evolución temporal.

¡Gracias por sus respuestas!

Algunas reflexiones: medir la partícula para que no esté en alguna región tu ⊆ S (dónde S es el espacio de posiciones posibles) es lo mismo que medirlo para estar en la región S ∖ tu . Entonces, su pregunta no es notablemente distinta del caso en el que la mide en [ X a , X b ] y encontrarlo allí. Lo cual también es una buena pregunta.
@ jacob1729 ¿Podría desarrollar por qué estas dos situaciones no son distintas entre sí, por favor? Mi punto es que al medir algo donde no está la partícula, no interactúas con ella y, en principio, no interactuar con ella no debería cambiar su estado.
@ÁlexDeLaCalzada antes de la medición, la función de onda no es cero en casi todas partes, medir la partícula en alguna región requiere que haga algo con su aparato en una región en la que la partícula tiene cierta amplitud para encontrarla, por lo que no lo llamaría 'no interactuar con eso'.

Respuestas (1)

¿Continúa la partícula en el mismo estado propio del hamiltoniano?

No. Ha realizado una medición binaria, es decir, la pregunta "¿está la partícula en el intervalo [ X a , X b ] ?", con respuestas "sí" y "no" correspondientes a los operadores de proyección

Π 1 = ∫ X a X b | X ⟩ ⟨ X | d X
y
Π 0 = I − Π 1 = ∫ − ∞ X a | X ⟩ ⟨ X | d X + ∫ X b ∞ | X ⟩ ⟨ X | d X .

Si la partícula parte del estado propio | ψ norte ⟩ de algún hamiltoniano H , y luego realiza esa medición y obtiene una respuesta negativa, entonces el estado del sistema evolucionará a

| ψ norte ⟩ ↦ 1 norte Π 0 | ψ norte ⟩ = 1 | | Π 0 | ψ norte ⟩ | | Π 0 | ψ norte ⟩ = 1 ⟨ ψ norte | Π 0 | ψ norte ⟩ Π 0 | ψ norte ⟩
(con la última igualdad utilizando el hecho de que Π 0 2 = Π 0 ). La partícula evolucionará entonces de acuerdo con el hamiltoniano anterior. H ─ probablemente con alguna evolución temporal importante, ya que Π 0 | ψ norte ⟩ es probable que esté lejos de ser un estado propio de H .

Esa es una muy buena explicación, pero todavía no veo cómo medir algo al no interactuar con la partícula puede cambiar su estado.
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