Colapso de la función de onda y una función de onda general

No todos los operadores transforman un ket en una superposición de kets: por ejemplo

$$\hat \Pi=\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$ actuando sobre un estado$\vert \Psi\rangle$Producirá$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\Psi\rangle$, que no es un ket normalizado y tampoco una combinación lineal de kets.

Un operador como$\hat \Pi$es un operador de proyección y es idempotente, es decir$\hat\Pi\hat \Pi=\hat \Pi$; los operadores de proyección sirven como prototipos básicos para los operadores de medición.

Tienes un malentendido aquí. La acción de un operador observable como$x$o$p= -i\frac{\partial}{\partial x}$no cambia la función de onda a un estado colapsado. El operador que hace eso es un proyector, como:

$$|x=1\rangle \langle x=1|$$

o

$$|x=-12.531\rangle \langle x=-12.531|$$

o

$$|p=0\rangle \langle p=0|$$

El proyector que aplique depende del resultado de la medición y de lo que esté midiendo. Los anteriores se aplican a los resultados.$x=1$,$x=-12.531$, y$p=0$, respectivamente (dejé fuera las unidades porque no son importantes).

Si desea calcular estos proyectores: son productos externos de los vectores propios de los operadores correspondientes. Por ejemplo,

$$\hat{x}|x=-12.531\rangle = -12.531 |x=-12.531\rangle$$

Los proyectores anteriores no lo dejarán con una superposición (al menos no en la base x, x y p, respectivamente). En general, si un vector está en una superposición depende de la base en la que lo expreses.