Fuerza centrípeta y centrífuga

Tienes dos preguntas.

Aquí está la respuesta a su primera pregunta: " Entonces, ¿por qué la piedra no regresa/alcanza el centro del círculo? "

La respuesta es que la piedra está acelerando hacia el centro exacto del círculo. La velocidad se compone de rapidez Y dirección. Como notó, la velocidad siempre está cambiando, sin embargo, la velocidad no lo está. Esto está relacionado con tu segunda pregunta.

"¿ Alguien me puede decir de qué dos vectores de velocidad se obtendrá este vector de velocidad resultante para el punto B ?"

Suponga que el punto B está a una distancia extremadamente pequeña a lo largo del círculo desde el punto A. Notará, después de dibujar esto, que el Vector B está ligeramente inclinado hacia el centro de la trayectoria circular. La punta del Vector A toca la cola del vector extremadamente pequeño que une el Vector A con el Vector B. En otras palabras, el Vector A más el Vector diminuto dan como resultado el Vector B. Tenga en cuenta que estamos hablando de un incremento infinitesimalmente pequeño.

Si dibujas esto en papel, verás que, en teoría, el diminuto vector apunta directamente al centro de la trayectoria circular. Ese diminuto vector representa el cambio de velocidad o aceleración. La piedra está acelerando hacia el centro del círculo. Se mueve constantemente hacia el centro del círculo, pero nunca lo alcanza. la aceleracion$\frac{v^2}{r}$, se puede derivar geométricamente de los vectores de radio y los vectores de velocidad.

La piedra nunca llega al centro del círculo porque como hace un movimiento hacia el centro del círculo debido a la ligera rotación del vector, también tiende a moverse en línea recta tangencialmente, alejándola del centro del círculo. Este movimiento constante hacia adentro se opone a un movimiento constante hacia afuera que resulta en ningún progreso hacia el centro del círculo. La piedra constantemente quiere moverse en línea recta alejándose del centro, pero la fuerza en la cuerda la jala hacia adentro en la misma cantidad por cada incremento de tiempo.

Cuando pasas una cuerda por encima de tu cabeza, tu brazo, la piedra y la cuerda viajan en círculos. Es decir, todas las distintas piezas tienen velocidades tangenciales (tangentes a círculos). La cuerda transfiere las fuerzas entre tu mano y la roca de manera que la cuerda siempre está en tensión.

Si aumenta la fuerza aplicada, aumentan tanto la fuerza centrípeta como la centrífuga, aumenta la velocidad tangencial y aumenta la fuerza de tensión en la cuerda.

Aquí están sucediendo dos cosas. Las fuerzas que actúan sobre la roca son iguales y opuestas actuando a lo largo del eje de la cuerda. 90 grados a esta hay dos "Reacciones" más iguales y opuestas, una es la Velocidad Tangencial a la que se opone la Inercia de la roca (y el arrastre del aire), que no quiere ser acelerada.

Entonces, si dibujas vectores (cuatro flechas apuntando desde la roca), todos están a 90 grados de distancia. Dos son fuerzas, dos son inerciales. Están en pares iguales y opuestos.

La ecuación paramétrica de un círculo (por simplicidad tome$r=1$) es dado por$x=\cos(\theta)$y$y=\sin(\theta)$así el vector radial$\vec{r}(t)$es dado por

Dado que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición, está dada por$\ddot{\vec{r}}=\vec{a}=-\omega^2\cdot\vec{r}$, de donde se llega a la fuerza centrípeta.

Lo que voy a decir puede parecer un razonamiento circular, pero si comienzas con esta ecuación diferencial y la resuelves, verás que, de hecho, la ecuación de movimiento está dada por un círculo. La razón por la que retrocedí es porque no quería resolver una EDO vectorial.

Además, no debe confundir las fuerzas centrípetas y centrífugas, siendo esta última una fuerza ficticia, que solo se puede observar en un marco no inercial. Para citar Wikipedia

En la mecánica clásica, la fuerza centrífuga es una fuerza hacia afuera que surge cuando se describe el movimiento de objetos en un marco de referencia giratorio.

En conclusión, no hay fuerza centrífuga en un marco de inercia y las fuerzas no se cancelan, por lo tanto, hay una aceleración neta. Supongo que esto ha respondido a tu primera pregunta.

El vector velocidad viene dado por

Deja que la pelota esté en$A$en el momento$t=t_0$y en$B$en el momento$t=t_1=t+\tau$($\tau$siendo pequeño) entonces el vector$\vec{c}$que muestra el cambio en el vector de velocidad$\vec{v_A}$es el siguiente

En el ejemplo de la piedra y la cuerda tienes un ejemplo típico de la tercera ley de Newtow. La piedra se mueve en una trayectoria circular porque la cuerda la jala hacia el centro. Por el tercer principio de Newton, la piedra tira ahora de la cuerda con una fuerza opuesta que es igual en magnitud a la anterior. Que el trabajo sea cero proviene del hecho de que la fuerza centrípeta que mantiene a la piedra en una trayectoria circular es perpendicular al vector velocidad.