¿Cuál es la forma vectorial adecuada para la fórmula de la gravedad?

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¿Cuál es la forma vectorial adecuada para la fórmula de la gravedad?

efectivo
Física
marcos de referencia
fuerza centrífuga
fuerza centrípeta
mecanica-newtoniana

usuario32023

Estamos familiarizados con la ecuación para calcular la velocidad de un objeto en órbita dada la masa central (o la masa dada la velocidad orbital):

\frac{v^{2}}{r} = \frac{METRO GRAMO}{r^{2}}

$\frac{v^2}{r} = \frac{MG}{r^2}$ Estoy tratando de entender esto como una red de fuerzas en forma de vector (suponiendo una unidad de masa en estas fórmulas):

\vec{\frac{v^{2}}{r}} = \vec{\frac{METRO GRAMO}{r^{2}}}

$\vec{\frac{v^2}{r}} = \vec{\frac{MG}{r^2}}$ La fuerza centrípeta está dirigida hacia el centro (opuesto al vector normal de la superficie), pero también lo está la gravedad. La forma escalar (suponiendo que la fuerza positiva se dirige radialmente hacia afuera) sería:

- \frac{v^{2}}{r} = - \frac{METRO GRAMO}{r^{2}}

$-\frac{v^2}{r} = -\frac{MG}{r^2}$ Entonces, ¿cómo se equilibra esto? Se supone que la fuerza neta es cero, pero si reorganizas, obtienes:

- \frac{v^{2}}{r} + \frac{METRO GRAMO}{r^{2}} \neq 0

$-\frac{v^2}{r} +\frac{MG}{r^2} \ne 0$ ¿Cómo organiza estos componentes para obtener una fuerza neta de cero (suponiendo que no existe la fuerza centrífuga)?

usuario97166

¿Cómo sabes en tu última línea que la suma no es 0?

usuario32023

porque en movimiento

\frac{M G}{r^{2}}

$\frac{MG}{r^2}$ en el mismo lado de la ecuación que la fuerza centrípeta estaría convirtiéndola en antigravedad. Al configurar esto como una ecuación de equilibrio de fuerzas, estoy comenzando con el hecho de que sé que las fuerzas centrípeta y gravitacional apuntan en la misma dirección (negativa). ¿Cómo consigues que dos fuerzas negativas se equilibren a cero?

usuario97166

Sí, pero resulta que

\frac{v^{2}}{r} = \frac{M G}{r^{2}}

$\frac{v^2}{r}=\frac{MG}{r^2}$ , por lo que la suma es de hecho

0

$0$ . Aquí no hay antigravedad. La fuerza centrípeta no es una fuerza añadida, la fuerza centrípeta la proporciona la gravedad.

dmckee --- gatito ex-moderador

Donald, esta es una idea realmente importante si quieres resolver problemas que involucran órbitas, y es tan simple que es fácil pasarla por alto. No existe una fuerza centrípeta separada: siempre proviene de alguna combinación de fuerzas físicas presentes en el problema.

Respuestas (5)

¿Cuál es la forma vectorial adecuada para la fórmula de la gravedad?

porque en movimiento $\frac{MG}{r^2}$ en el mismo lado de la ecuación que la fuerza centrípeta estaría convirtiéndola en antigravedad. Al configurar esto como una ecuación de equilibrio de fuerzas, estoy comenzando con el hecho de que sé que las fuerzas centrípeta y gravitacional apuntan en la misma dirección (negativa). ¿Cómo consigues que dos fuerzas negativas se equilibren a cero?
Sí, pero resulta que $\frac{v^2}{r}=\frac{MG}{r^2}$ , por lo que la suma es de hecho $0$ . Aquí no hay antigravedad. La fuerza centrípeta no es una fuerza añadida, la fuerza centrípeta la proporciona la gravedad.
Donald, esta es una idea realmente importante si quieres resolver problemas que involucran órbitas, y es tan simple que es fácil pasarla por alto. No existe una fuerza centrípeta separada: siempre proviene de alguna combinación de fuerzas físicas presentes en el problema.

dmckee --- gatito ex-moderador · Answer 1

Después de un comentario, queda claro que aquí hay un profundo malentendido y que el título de la pregunta no tiene nada que ver con el problema real.

Dejemos algo básico claro: no existe "la fuerza centrípeta". Esa no es una fuerza que mágicamente decide surgir cuando un objeto se mueve en un círculo. Más bien "centrípetas" es una etiqueta para aquellas fuerzas reales que apuntan hacia el centro.

Una fuerza centrípeta es aquella que apunta hacia el centro y provoca una aceleración transversal a la dirección del movimiento. Dado que el movimiento tiene velocidad $v$ y radio $r$ puedes saber que el tamaño de la aceleración es $v^2/r$ y la intensidad de la fuerza es $mv^2/r$ .

En este caso esa fuerza centrípeta es la fuerza de gravedad. Esa es la única fuerza que actúa aquí. Y debido a que apunta al centro, también podemos etiquetarlo como "centrípeto" y saber que su magnitud debe ser $mv^2/r$ para que la órbita sea circular.

Como regla general, se identifica la fuerza centrípeta en cualquier situación particular como la suma de los componentes de la fuerza que apuntan hacia el centro de rotación menos la suma de los componentes de la fuerza que apuntan alejándose del centro:

F_{C} = metro \frac{v^{2}}{r} = \sum_{i} F_{i, i norte} - \sum_{i} F_{i, o tu t} .

$F_c = m\frac{v^2}{r} = \sum_i F_{i,in} - \sum_i F_{i,out} .$

Cuando pregunta cómo organizar las cosas para obtener una fuerza cero, está haciendo las preguntas equivocadas: hay y debería haber una fuerza neta actuando sobre el cuerpo en órbita porque experimenta una aceleración continua.

Un par de los encantamientos usuales son

F_{gramo} = - GRAMO \frac{METRO}{r^{3}} \vec{r},

$F_g = -G\frac{M}{r^3}\vec{r} \,,$

y

F_{gramo} = - GRAMO \frac{METRO}{r^{2}} \hat{r} .

$F_g = -G\frac{M}{r^2}\hat{r} \,.$

En ambos casos, la dirección se toma como el negativo del radio vector al punto de consideración, dándole la dirección correcta (hacia adentro). La elección de utilizar o no el vector unitario parece ser una decisión personal y no una razón bien articulada.

Gracias, pero no veo cómo eso ayuda a equilibrar las fuerzas. Estoy de acuerdo en que la gravedad está dirigida hacia adentro (en dirección negativa), pero también lo está la fuerza centrípeta.
@DonaldRoyAirey Las fuerzas no están equilibradas porque el objeto se acelera alrededor de la masa central $M$ . dmckee ha dado una excelente explicación al responder a su pregunta. Si necesita notación vectorial, considere $- GRAMO \frac{{metro}_{1} {metro}_{2}}{r_{12}^{2}} {\hat{r}}_{12}$ $-G\frac{m_1m_2}{r_{12}^2}\hat{r}_{12}$ desde donde apunta el vector unitario $m_1$ hacia $m_2$ .

garyp · Answer 2

Este es un "te pillo" muy común entre los novatos, y en mi opinión es algo que no está bien cubierto en los libros de texto. El problema es de semántica, no de física. El término fuerza centrípeta no nombra una fuerza física como lo hacen la fuerza gravitacional y la fuerza electrostática . Las palabras fuerza centrípeta representan el resultado neto de las fuerzas reales en el caso de que la fuerza neta apunte a algún centro.

Por ejemplo, en una rueda de la fortuna, hay dos fuerzas sobre una persona: la gravedad (debido a la tierra) y la fuerza normal (debido a la silla). La suma vectorial de estos puntos apunta hacia el eje, por lo que llamamos a la suma fuerza centrípeta . No existe una fuerza adicional que llamaríamos fuerza centrípeta.

En tu caso, hay una fuerza sobre el objeto, la gravedad. No hay una fuerza centrípeta adicional.

Este. El lenguaje que usamos "la fuerza centrípeta" es un gran punto de partida. Especialmente porque generalmente se introduce poco después de un capítulo en el que la gravedad, la fricción y "la fuerza normal" hacen su aparición. Es una maravilla que hasta el último estudiante no esté confundido sobre el asunto.

proyecto de ley n · Answer 3

Una nota pedagógica: debido a que los estudiantes regularmente intentan buscar la fuerza centrípeta y se confunden (como se señala en otras respuestas aquí), trato de enfatizar que es la aceleración la que es centrípeta en lugar de la fuerza (aunque la suma está dirigida al centro ). Debido a que la aceleración siempre es el resultado de una suma, he encontrado que menos estudiantes en mis clases se confunden con esta afirmación para el movimiento circular:

\frac{1}{metro} \sum_{i} (F_{r})_{i} = - a_{r} = - \frac{v^{2}}{r} .

$\frac{1}{m}\sum_i (F_r)_i=-a_r=-\frac{v^2}{r}.$

El signo menos surge si define que la dirección radial positiva es hacia afuera desde el centro de la órbita.

Haz la suma de fuerzas, encuentra la aceleración y finalmente decide si la aceleración (o una de sus componentes) es centrípeta. Entonces no estarás buscando una fuerza centrípeta.

Hmmm agradable. Justo este semestre comencé a jugar con la idea de tratar el movimiento circular conocido de manera paralela a nuestro tratamiento del equilibrio. "Si sabes que un objeto está en equilibrio, entonces su aceleración es cero y, por lo tanto, también lo es la fuerza neta; si sabes que un objeto está en movimiento circular, entonces sabes que su aceleración es $v^2/r$ hacia el centro y por lo tanto que la fuerza neta es $mv^2/r$ en la misma dirección.

Maitreya · Answer 4

La fuerza centrípeta no es una fuerza real. Es una construcción para representar la suma de diferentes fuerzas que causan el movimiento circular. En el caso de una órbita, la fuerza gravitacional es la fuerza centrípeta, que es lo que dijiste en la primera ecuación. NO son opuestos, como preguntaste en la pregunta. No se arreglan para tener una fuerza neta de cero. Una fuerza neta de cero significaría que el objeto no estaría en movimiento circular. Un objeto en movimiento circular siempre tiene una fuerza neta (fuerza centrípeta) dirigida hacia el centro de rotación. En el caso de una órbita, la fuerza gravitacional es la única fuerza que actúa sobre el objeto, y es la fuerza centrípeta. Si giras un objeto atado a una cuerda en un círculo, la tensión en la cuerda sería la fuerza centrípeta.

Según tu propio razonamiento, la fuerza gravitacional no es una fuerza real. Eso es incorrecto.
@Gert, has entendido mal el argumento aquí. "Centrípeta" es y siempre ha sido una etiqueta aplicada a un conjunto de fuerzas reales. La verdadera fuerza aquí es la gravedad (ignorando las complicaciones de GR por el momento), y no hay una fuerza centrípeta separada. Son iguales.
@dmckee: tendré en cuenta la semántica, pero me parece una distinción sin diferencia .
Esta no es una distinción semántica, es fundamental. La gravedad es una fuerza. "Centrípeto" no es una fuerza, es una etiqueta para una suma de componentes de fuerza. Lo que entra en la suma varía de un problema a otro. Aquí está la gravedad, para un automóvil que se desplaza por una rotonda es la fricción, para un doble de riesgo que circula por un bucle vertical, es la fuerza normal sobre sus neumáticos más $mg\cos\theta$ (con theta medido desde la vertical hacia arriba).

usuario83548 · Answer 5

Estás un poco confundido por el significado de la fuerza centrípeta y centrífuga. Primero, en un marco de referencia en reposo relativo al centro de masa, la gravedad ES la fuerza centrípeta (solo porque apunta hacia el centro). Mi impresión es que asumiste que había dos fuerzas, la gravedad y la fuerza centrífuga. En segundo lugar, en un marco de referencia en el que la masa giratoria está en reposo, debe haber dos fuerzas que se equilibren entre sí. ¿Qué es esta segunda fuerza? se llama pseudofuerza, que aparece cuando no estás en un marco inercial (el marco giratorio no es inercial). En el caso de un marco de referencia giratorio, la pseudofuerza es una fuerza centrífuga, opuesta en dirección a la gravedad. Por eso en este marco de referencia la masa está en reposo.

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