Fracción de luz que alcanza uno de los extremos de un cilindro largo de vidrio con una fuente puntual que emite luz monocromática isotrópicamente en el centro

¿Qué fracción de luz llega a uno de los extremos de un cilindro largo de vidrio si hay una fuente puntual que emite luz monocromática isotrópicamente en el punto medio del eje del cilindro? La absorción en el vidrio puede considerarse insignificante.

Tengo dificultades para obtener cualquier tipo de solución tratable. Si theta es el ángulo formado con respecto al eje normal a la superficie del cilindro (de modo que sea ortogonal al eje del cilindro), entonces para ángulos mayores que$\theta_c = 41.8$grados, se producirá una refracción interna total, por lo que toda la luz llegará a uno de los extremos del cilindro. Esto está dado por$arcsin(\frac{n_2}{n_1})$, dónde$n_2 = 1.0$y$n_1 = 1.5$

Por debajo del ángulo crítico, algo de luz se reflejará y algo se refractará. La luz reflejada se reflejará en el mismo ángulo con el que incidió. Por esta razón, se refractará parcialmente cada vez que golpee la superficie del cilindro. Como se supuso que el cilindro era largo, es seguro decir que experimentará una gran cantidad de reflejos/refracciones, perdiendo algo de intensidad en la luz reflejada cada vez. Debido a esto, cualquier cosa por debajo del ángulo crítico se refractará por completo cuando llegue al final del cilindro.

Cualquier cosa contenida dentro del cono de radio.$R$y altura$Rtan(\theta_c)$llegará hasta el final (aquí, estoy llamando al radio del cilindro$R$).

El volumen de este cono es$\pi R^2 \frac{h}{3} = \pi \frac{R^3}{3} tan(\theta_c)$, y el volumen del cilindro que lo contiene es$\pi R^2 h = \pi R^3 tan(\theta_c)$, haciendo la relación$\frac{1}{3}$, independientemente del ángulo crítico.

¿Sigue mi línea de razonamiento aquí, o hay una mejor manera? ¡Gracias de antemano!