Formulación matemática del colapso de la función de onda parcial

Si se da una función de onda que es un elemento de un espacio de Hilbert H que es un producto tensorial de otros dos espacios de Hilbert H 1 ⊗ H 2 , ¿cómo se formula la medida de la función en uno de los subespacios, es decir H 1 ?

Por ejemplo, supongamos que tiene un sistema | ψ ⟩ que consta de dos qubits | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ . El sistema sufre una operación unitaria, dando | ψ ′ ⟩ = tu | ψ ⟩ . Todavía debería ser posible medir solo uno de los dos qubits, lo que provocaría un colapso parcial del sistema.

Si los dos qubits no se entrelazan después tu , entonces se pueden separar como | ψ ′ ⟩ = | ψ 1 ′ ⟩ ⊗ | ψ 2 ′ ⟩ . Parece claro que medir es decir | ψ 1 ′ ⟩ no debe causar | ψ 2 ′ ⟩ Colapsar.

Si los qubits están parcialmente entrelazados, aún es posible que uno de los qubits esté en algún tipo de superposición. Por ejemplo, si | ψ ′ ⟩ = | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 11 ⟩ 3 , entonces | ψ 2 ′ ⟩ el estado depende de lo que | ψ 1 ′ ⟩ se derrumba a. Si | ψ 1 ′ ⟩ → | 0 ⟩ , entonces podría | ψ 2 ′ ⟩ todavía estar en una superposición, a saber | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 ?

Para ser más específico sobre la parte de "formulación" de mi pregunta, puede usar, por ejemplo | ⟨ 0 ∣ ψ 1 ′ ⟩ | 2 para encontrar la probabilidad de que | ψ 1 ′ ⟩ se derrumba a | 0 ⟩ , asumiendo una función de onda normalizada. ¿Cuál sería el formato para, por ejemplo, medir un solo qubit de | ψ ′ ⟩ ? ¿Sería algo como ( ⟨ 0 | ⊗ ⟨ ψ 2 ′ | ) | ψ ′ ⟩ ?

Algunas ideas que estoy investigando: el valor esperado de un operador O es dado por ⟨ ψ ∣ O ∣ ψ ⟩ . Cuando O es un operador de proyección, como | 0 ⟩ ⟨ 0 | (que se proyecta a un | 0 ⟩ -base), el valor esperado es la probabilidad de que la medición produzca ese resultado particular. Entonces, ¿quizás la medición parcial de un sistema implica la proyección a algún subespacio abarcado por múltiples estados básicos?

Sí, tu intuición es correcta. Puede utilizar estos productos escalares 'parciales'. Dado que la notación puede ser confusa, le sugiero que agregue un guión inferior como, por ejemplo, A ⟨ x | ψ ⟩ A B si mides el sistema A .

Respuestas (1)

En general, tal "colapso parcial" de una función de onda no puede expresarse como el producto interno habitual (es decir, utilizando ⟨ 0 ∣ ψ ⟩ ). En su lugar, debe utilizar el valor esperado del operador de proyección correspondiente. Esto funciona para el "colapso completo" en un solo estado de base, ya que el operador de proyección correspondiente es solo el producto externo de la base consigo mismo ( | 0 ⟩ ⟨ 0 | ).

Prueba:

Usando el ejemplo que di arriba, dejemos PAG ser el operador que proyecta el primer qubit a | 0 ⟩ . Esto puede ser representado por la matriz [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] . Supongamos que existe algún estado base | B ⟩ que representa | ψ 1 ′ ⟩ = | 0 ⟩ mientras | ψ 2 ′ ⟩ no se ve afectado PAG entonces se puede escribir como | B ⟩ ⟨ B | . Si | B ⟩ viene dada por la matriz [ X y z w ] , entonces | B ⟩ ⟨ B | = [ X X ∗ X y ∗ X z ∗ X w ∗ y X ∗ y y ∗ y z ∗ y w ∗ z X ∗ z y ∗ z z ∗ z w ∗ w X ∗ w y ∗ w z ∗ w w ∗ ] . La equiparación con la matriz anterior da las siguientes ecuaciones:

  • z = w = 0
  • | X | 2 = | y | 2 = 1
  • X y ∗ = X ∗ y = 0

Que no tiene solución. Por lo tanto, | B ⟩ no existe.

Esto significa que la probabilidad de medir parte de un sistema debe expresarse utilizando la expectativa del operador, ⟨ ψ ∣ PAG ∣ ψ ⟩ .

Es posible, sin embargo, para PAG expresarse como una suma de productos externos. En este caso, PAG = | 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 01 ⟩ ⟨ 01 | . Esto podría generalizarse como una suma de proyecciones a cada base del subespacio.

Por supuesto, puede expandirlo como una suma de cuadrados superpuestos.
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