Fórmula de altura de una esfera dentro de una tubería.

Question

Fórmula de altura de una esfera dentro de una tubería.

Joao Paulo

Tengo una tubería con una bola dentro y soplando aire a través de ella. Mira esta imagen:

El aire sopla en la dirección de $F_a$ . $F_a$ es la fuerza aerea y $P$ es la fuerza del peso.

Lo que quiero es algo muy muy simple, no complejo.

quiero armar una formula de la altura $h$ de esta pelota.

Lo que he hecho hasta aquí:

Sé que la fuerza resultante $F_r$ es:

F_{r} = \frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}} . {metro}_{b}

$F_r = \frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b$ dónde

m_{b}

$m_b$ es la masa de la pelota. Y yo sé que

F_{r}

$F_r$ es también:

F_{r} = F_{a} - PAG, t h mi norte : \frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}} . {metro}_{b} = F_{a} - PAG

$F_r = F_a-P, then: \\ \frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = F_a-P$

P = m_{b} . g

$P = m_b.g$ ,

g

$g$ es la aceleración de la gravedad. Según esto ,

F_{a} = A_{b} . ρ_{w} . D_{s p h e r e}

$F_a = A_b . \rho_w . D_{sphere}$ . hice

A_{b}

$A_b$ como el área de la sección transversal central de la esfera (el círculo central). Según el enlace,

ρ_{w} = 0.00256 . v_{w}^{2}

$\rho_w = 0.00256 . v_w^2$ , dónde

v_{w}

$v_w$ es la velocidad del viento dentro de la tubería. y yo hice

D_{s p h e r e} = 0.47

$D_{sphere} = 0.47$ , según esto . Entonces:

\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}} . {metro}_{b} = A_{b} \times 0.00256. v_{w}^{2} \times 0.47 - {metro}_{b} . gramo

$\frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = A_b \times 0.00256.v_w^2 \times 0.47 - m_b.g$

Aquí empiezan los problemas... Tengo que construir una aproximación para la velocidad del viento dentro de la tubería. Esta velocidad no es lineal y está en función de la altura real de la pelota. Piense en un ventilador que sopla aire de abajo hacia arriba. La velocidad será alta en la parte inferior y muy baja en la parte superior.

¿Cuál sería una buena fórmula para sustituir $v_w$ ? Pensé algo como esto:

v_{w} = \frac{k}{h^{pag}}

$v_w = \frac{k}{h^p}$

Dónde $k$ es una constante (no hay problema en dejarlo como una sola constante) y $p$ es un índice. que seria bueno $p$ ?

La fórmula completa sería:

\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}} . {metro}_{b} = A_{b} \times 0.00256. {(\frac{k}{h^{pag}})}^{2} \times 0.47 - {metro}_{b} . gramo

$\frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = A_b \times 0.00256.\left(\frac{k}{h^p}\right)^2 \times 0.47 - m_b.g$

¿Qué piensan ustedes sobre todo el proceso para una simple aproximación? ¿Algún error absurdo?

EDITAR

Siguiendo las sugerencias, hice algunos cambios. Descarté la idea de $v_w = \frac{k}{h^p}$ . En realidad, esta es la velocidad relativa entre el aire y la pelota, así que hice:

v_{r} = v_{w} - \frac{\partial h}{\partial t}

$v_r = v_w - \frac{\partial h}{\partial t}$

dónde $v_w$ ahora es una constante. También decidí cambiar la ecuación por esta de wikipedia. También cambié la densidad del aire a 25 grados a $1.1839 \ kg/m^3$ .

Así que aquí está la nueva fórmula:

\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}} . {metro}_{b} = \frac{A_{b}}{2} \times 1.1839. {(v_{w} - \frac{\partial h}{\partial t})}^{2} \times 0.47 - {metro}_{b} . gramo

$\frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = \frac{A_b}{2} \times 1.1839.\left(v_w - \frac{\partial h}{\partial t}\right)^2 \times 0.47 - m_b.g$

Usando Runge-Kutta, hice estos gráficos para diferentes velocidades del viento:

Valores utilizados:

gramo r a v i t y = 9.8 metro / s^{2} metro a s s = 0.01 k gramo s pag h mi r mi d i a metro mi t mi r = 0.1 metro

$gravity = 9.8 \ m/s^2\\ mass = 0.01 \ kg\\ sphere \ diameter = 0.1 \ m\\$

Creo que esto es bastante razonable...

nluigi

No puedes simplemente inventar una fórmula para

v_{w}

$v_w$ como función de

h

$h$ ! ¿Por qué crees que la velocidad del aire será alta en la parte inferior y baja en la parte superior? De acuerdo, habrá una disminución en la velocidad debido a la resistencia, pero será pequeña. En general, si imponemos la conservación de la masa, la velocidad en un cilindro de diámetro constante debe ser la misma en la parte inferior que en la parte superior. Entonces, la velocidad del aire en el cilindro se deriva simplemente del caudal impuesto y del área del cilindro por el que fluye. Ahora, si la velocidad en la ecuación de arrastre debe ser la velocidad en el cilindro o alrededor de la bola, ¡es otra cuestión!

Joao Paulo

Eso tiene sentido, no hay razón para que la velocidad del aire disminuya... Así que puedo dejar

v_{w}

$v_w$ ser una constante, ¿verdad?

Gert

"Lo que quiero es algo muy, muy simple, no complejo". No siempre podemos tener lo que queremos. He probado las funciones de arrastre clásicas que actúan sobre la pelota. No conducen a una bola estacionaria . El único modelo posible aquí es uno donde la presión debajo de la pelota depende de

v_{w}

$v_w$ . Pero esa dependencia (

p = f (v_{w})

$p=f(v_w)$ ) es difícil de modelar teóricamente. Creo que las aplicaciones del mundo real de este problema (medidores de flujo de bola) se han modelado empíricamente.

Gert

en.wikipedia.org/wiki/Thorpe_tube_caudalímetro

Respuestas (1)

Fórmula de altura de una esfera dentro de una tubería.

No puedes simplemente inventar una fórmula para $v_w$ como función de $h$ ! ¿Por qué crees que la velocidad del aire será alta en la parte inferior y baja en la parte superior? De acuerdo, habrá una disminución en la velocidad debido a la resistencia, pero será pequeña. En general, si imponemos la conservación de la masa, la velocidad en un cilindro de diámetro constante debe ser la misma en la parte inferior que en la parte superior. Entonces, la velocidad del aire en el cilindro se deriva simplemente del caudal impuesto y del área del cilindro por el que fluye. Ahora, si la velocidad en la ecuación de arrastre debe ser la velocidad en el cilindro o alrededor de la bola, ¡es otra cuestión!
Eso tiene sentido, no hay razón para que la velocidad del aire disminuya... Así que puedo dejar $v_w$ ser una constante, ¿verdad?
"Lo que quiero es algo muy, muy simple, no complejo". No siempre podemos tener lo que queremos. He probado las funciones de arrastre clásicas que actúan sobre la pelota. No conducen a una bola estacionaria . El único modelo posible aquí es uno donde la presión debajo de la pelota depende de $v_w$ . Pero esa dependencia ( $p=f(v_w)$ ) es difícil de modelar teóricamente. Creo que las aplicaciones del mundo real de este problema (medidores de flujo de bola) se han modelado empíricamente.

Han-Kwang Nienhuy · Answer 1

Si la tubería es cilíndrica, no hay altura de equilibrio. Todo el aire que entra por abajo debe salir por arriba, por lo que el equilibrio de fuerzas no dependerá de la altura de la pelota.

En un medidor de flujo de bola ( rotámetro ), la tubería es ligeramente cónica, de modo que el espacio entre la bola y la tubería aumenta a medida que se eleva la bola.

Si desea una estimación muy aproximada de las fuerzas involucradas, puede usar Bernoulli y hacer la suposición adicional de que, debido a la turbulencia, la energía cinética ganada en el espacio entre la bola y el cilindro es mayormente (digamos una fracción $\alpha<1$ ) convertida en calor. Comience suponiendo un fluido incompresible: el hecho de que el aire se expanda a medida que cae la presión lo hace más difícil. Si la sección transversal de la tubería es $A$ , el caudal volumétrico es $Q$ , la densidad del fluido $\rho$ , la sección transversal de la bola es $A'$ , entonces la velocidad del fluido en la tubería es $v=Q/A$ y la velocidad del fluido en el espacio es $v'=Q/(A-A')$ . La diferencia de presión neta sería entonces $\Delta p=\alpha\rho(v'^2-v^2)/2$ , que actúa sobre la zona $A'$ , resultando en una fuerza $F=A'\Delta p$ .

Muy buena respuesta. Descubrí que con un tubo cilíndrico no es posible que haya una altura de equilibrio, pero no pude ir más allá de eso, hasta que vi una imagen de una bola más un cilindro cónico.
Probaré este enfoque también y compararé los resultados, creo que su modelo es mejor. Comprobaré esto como la respuesta. ¡Gracias!

Fórmula de altura de una esfera dentro de una tubería.

Joao Paulo

nluigi

Joao Paulo

Gert

Gert

Respuestas (1)

Han-Kwang Nienhuy

Gert

Joao Paulo

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