Forma ideal de un reloj de agua.

Hay (al menos) dos tipos de reloj de agua: flujo constante por unidad de tiempo y caída constante de altura por unidad de tiempo.

Si desea un flujo constante, necesita un mecanismo para mantener constante la presión: este fue el tema de esta pregunta

Si desea un cambio constante de altura con el tiempo, debe cambiar el área en función de la altura sobre el orificio. Es fácil demostrar (Bernoulli) que la velocidad del flujo es la raíz cuadrada de la presión (altura). El área a una altura$h$debe ser tal que el nivel caiga a un ritmo constante. Si el diámetro en$h$es$r(h)$, entonces$r(h)^2 \propto \sqrt{h}$. De ello se deduce que la forma del lado de la pared del reloj es de la forma

$$r \propto \sqrt[4]{h}$$

Tenga en cuenta que lo anterior supone un flujo no viscoso: es decir, la diferencia de presión adicional debida al arrastre viscoso a través de la abertura se desprecia en la ecuación de Bernoulli. Esta es una buena suposición cuando la apertura es bastante corta y el número de Reynolds del flujo es alto; consulte este artículo que muestra que el coeficiente de descarga cambia en aproximadamente un 1 % para un número de Reynolds de 10$^4$a 10$^7$. Sin embargo, a tasas de flujo más bajas, el efecto puede ser significativo, y esto tiende a hacer que los medidores de flujo sean menos precisos a tasas de flujo bajas, según lo expresado por la relación de reducción .

En principio, puede tener esto en cuenta en la construcción de su reloj de agua: para hacerlo, necesita una determinación precisa de la caída de presión en la boquilla debido a las fuerzas viscosas.

Suponiendo que tiene un reloj de agua de 24 horas con una altura total de 1,20 m, y deja que el agua corra de 120 cm a 24 cm (1 cm cada 15 minutos) con un diámetro de 25 cm a una altura de 100 cm, entonces el caudal a esa altura se calcularía de la siguiente manera:

$$\frac{dh}{dt}=\frac{0.01~\rm{m}}{15\cdot 60~\rm{s}}=11.1~\rm{µm / s}\\ \frac{dV}{dt} = A\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{4}\cdot 0.25^2 \cdot 11.1\cdot 10^{-6} = 0.545~\rm{ml/s}$$

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la velocidad del líquido que cayó 100 cm es$\sqrt{2*g*h}=4.42~\rm{m/s}$. La apertura "Bernoulli pura" necesaria con una diferencia de presión de 9,81 kPa tendría un radio de solo 0,198 mm. Si asumimos que la pared del recipiente tiene 2 mm de espesor, tenemos una "boquilla" que tiene aproximadamente 0,4 mm de diámetro y 2 mm de largo. Si el líquido fluye a través de una boquilla de este tipo a un caudal volumétrico de 0,545 ml/s, ¿cuál sería la caída de presión (adicional)?

Para flujo de Poisseuille puro, el caudal y la presión están relacionados (linealmente) por

$$Q = \frac{\pi r^4}{8\mu L}P$$

Entonces, para las dimensiones y el caudal dados, y usando$\mu= 0.001 kg/m/s$, encontramos P = 1,8 kPa, eso es significativo.

Si queremos tener en cuenta este término lineal adicional, entonces se debe modificar la ecuación de nuestra forma. Para una altura dada$h$, la tasa de flujo se encuentra resolviendo para$v$, señalando que$Q = A v$y eso$\Delta P = \frac{8\mu L}{\pi r^4} Q = \alpha Q$. La presión disponible para acelerar el agua es entonces$\rho g h - \Delta p$de modo que

$$\rho g h - \alpha A v = \frac12 \rho v^2\\ v^2 + \frac{\alpha A}{\rho} v - 2gh = 0$$

Esta es una ecuación cuadrática en$v$, y las raíces son

$$v = -\frac{\alpha A}{2\rho} ± \sqrt{\left(\frac{\alpha A}{2\rho}\right)^2+2gh}$$

Necesitamos la raíz positiva (para obtener velocidad positiva) y podemos simplificar la expresión a

$$v = \frac{\alpha A}{2\rho}\left(\sqrt{1+\frac{8gh\rho^2}{(\alpha A)^2}}-1\right)$$

Como control de cordura, el segundo término debajo de la raíz cuadrada será grande cuando se puedan ignorar las fuerzas viscosas; en ese caso

$$v = \frac{\alpha A}{2\rho}\frac{\sqrt{8gh\rho^2}}{\alpha A}\\ =\sqrt{2gh}$$ como antes.

Ahora podemos simplificar la expresión para que podamos determinar la forma del recipiente. Poner

$$v = a\left(\sqrt{1+bh}-1\right)$$

Una vez más, necesitamos hacer el área en función de la altura tal que$\frac{dh}{dt}=\rm{const}$. Podemos escribir

$$\frac{dh}{dt} = \frac{Q}{\pi R^2}$$

Dónde$Q$es el caudal volumétrico, y$R$es el radio del vaso. Desde$Q \propto v$,

$$\pi R^2 \propto v\\ R \propto \sqrt{\frac{\alpha A}{2\rho}\left(\sqrt{1+\frac{8gh\rho^2}{(\alpha A)^2}}-1\right)}$$

Cuando la viscosidad es muy pequeña, esto se reduce a la ecuación que teníamos antes; cuando es muy grande, nos dice que el radio es proporcional a$\sqrt{h}$en lugar de$\sqrt[4]{h}$. En el medio - es algo en el medio. Obviamente, si los términos viscosos importan, este reloj perderá precisión a medida que cambie la viscosidad, y ese es un problema bastante grande. De 10 a 30 C, la viscosidad cambia mucho:

T(C)  mu (mPa s)
 10    1.308
 20    1.002
 30    0.7978

En días fríos, el tiempo se ralentizará un 30%... y en días cálidos se acelerará un 20%. En realidad, existen técnicas para mitigar esto: implica un diseño de reloj más complejo. Mira este interesante análisis

ACTUALIZAR

Encontré un análisis interesante que es bastante crítico con cierta literatura sobre relojes de agua, y que nos recuerda que para un orificio pequeño, la tensión superficial modificará considerablemente lo anterior, especialmente cuando el nivel del agua se acerca al fondo. Se podría considerar tener un tubo vertical largo (y lo suficientemente ancho para no restringir el flujo) en la parte inferior del reloj (antes de la boquilla) para garantizar que la presión en la boquilla sea siempre "alta", no solo la forma del reloj será más uniforme, pero las fuerzas viscosas serán menos importantes y el reloj será menos sensible a la temperatura.

Dato interesante pero irrelevante: aparentemente se usaban relojes de agua en los burdeles de Atenas para cronometrar las visitas de los clientes ; si estos relojes funcionaran en régimen viscoso, supongo que los clientes podrían quedarse más tiempo cuando hacía frío. Que considerado.