Fila de imanes pivotantes y escala de energía

$\def\vm{{\bf m}}$Si los imanes pueden girar libremente, encontrarán el estado de energía más bajo. Esto ocurre cuando todos los imanes están alineados de cabeza a cola a lo largo de la línea.

$$\begin{equation*} \rightarrow\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{1} \end{equation*}$$ Si ahora el imán en un extremo se gira un cuarto de vuelta y luego se fija, no se sigue que todos los demás imanes se alinearán en un patrón alterno. $$\begin{equation*} \uparrow\downarrow\uparrow\cdots\uparrow\tag{2} \end{equation*}$$ De hecho, los imanes se alinearán de esta manera. $$\begin{equation*} \uparrow\searrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{3} \end{equation*}$$ ya que la energía potencial de esta configuración es menor que la de (2).

Algunos detalles

La energía potencial de la interacción dipolo-dipolo magnético entre vecinos más cercanos$i$y$i+1$es de la forma

$$H_{i,i+1} = -J(3(\vm_i\cdot \hat x)(\vm_{i+1}\cdot \hat x)-\vm_i\cdot \vm_{i+1})$$ donde tomamos $\hat x$ser el vector unitario que apunta desde el dipolo $i$a $i+1$. Alquiler $\vm_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$encontramos $$H_{i,i+1}=-\frac{J}{2}(3\cos(\theta_i+\theta_{i+1}) + \cos(\theta_i-\theta_{i+1})).$$

El potencial entre los vecinos más cercanos se minimiza cuando$\theta_i = \theta_{i+1}=0$o$\pi$, en cuyo caso encontramos$H_{i,i+1}=-2J$. Por lo tanto, la energía de la configuración (1) es aproximadamente

$$H = -2Jn$$ dónde $n+1$es el número de imanes. (Aquí ignoramos los efectos de mayor alcance).

Por otro lado, si$\theta_i = -\theta_{i+1} = \pm\pi/2$tenemos$H_{i,i+1}=-J$. Por lo tanto, la energía de la configuración (2) es aproximadamente

$$H = -Jn.$$

Observe que la configuración

$$\begin{equation*} \uparrow\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{4} \end{equation*}$$ tiene potencial $$H = -2J(n-1)$$ desde $H_{1,2}=0$. Para grande $n$esto es mucho menor que la energía de la configuración (2).

Algunos resultados para valores particulares de$n$

Para dos imanes, la configuración será la indicada.

$\hskip2.8in$

Para tres imanes, la energía se puede minimizar algebraicamente. Ya vemos que a los imanes les gusta estar alineados. Encontramos

$$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& \pi/2 = 90^{\circ} \\ \theta_2 &=& -\cos^{-1}\sqrt{2/3} \approx -35^\circ \\ \theta_3 &=& \cos^{-1}2\sqrt{2}/3 \approx 19^\circ. \end{eqnarray*}$$

$\hskip2.6in$

Para$50$imanes la energía se puede minimizar numéricamente. Encontramos, a una décima de grado,

$$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& 90^{\circ} \\ \theta_2 &=& -30.0^\circ \\ \theta_3 &=& 8.2^\circ \\ \theta_4 &=& -2.2^\circ \\ \theta_5 &=& 0.6^\circ \\ \theta_6 &=& -0.2^\circ \\ \theta_7 &=& 0.0^\circ \\ &\vdots& \\ \theta_{50} &=& 0.0^\circ. \end{eqnarray*}$$

$\hskip1.5in$

No obtienes la misma cantidad de trabajo, N, de cada bobina. Las unidades más lejanas le dan menos trabajo. Por lo tanto, el trabajo total recuperado por las bobinas no es L*N. (por cierto, L y N tienen significados muy específicos en electromagnetismo, por lo que debe evitar usar esos nombres de variables)

De hecho, la energía total del sistema se conserva en todo momento porque la energía potencial se transforma temporalmente en cinética mientras los imanes lejanos se toman su tiempo para moverse.

Para convencerte de que N no es constante, piensa en un alternador/generador y recuerda que el trabajo es la integral de tiempo de la potencia.

Para un par dado, trq, @ 0 rpm, el alternador da 0 potencia, por lo tanto, realiza 0 trabajo después del tiempo t. Para el mismo par dado, trq, @ rpm > 0, el alternador tiene una potencia >0, por lo tanto, realiza un trabajo distinto de cero después del tiempo t.

Por lo tanto, la potencia del alternador depende de la velocidad de rotación. Mientras hace el trabajo, te recuperarás de tus unidades magnéticas. Esas unidades que se mueven lentamente lejos del imán inicial le dan menos trabajo que las más cercanas. (esta no es la forma más elegante de explicarlo, pero quizás la más intuitiva)