Extendiendo las ecuaciones de Maxwell del espacio-tiempo plano al espacio-tiempo curvo

Question

Extendiendo las ecuaciones de Maxwell del espacio-tiempo plano al espacio-tiempo curvo

Física
cálculo tensorial
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell
relatividad especial
geometría diferencial

JG123

Supongamos que estamos trabajando en un espacio-tiempo de Minkowski (es decir, plano).

Dejar $A^{\mu} = ( \phi/c, \textbf{A})$ Sea el cuadrivector potencial contravariante. Entonces, suponiendo una métrica de Minkowski covariante de $\eta_{\mu \nu} = \textrm{diag}[+, -, -, -]$ , tenemos eso $A_{\mu} = ( \phi/c, -\textbf{A})$ es el vector potencial-cuatro covariante.

tambien tenemos eso $\alpha = A_{\mu} dx^{\mu}$ es la forma unipotencial.

Entonces definimos $F = d\alpha = \frac{1}{2} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) dx^\mu \wedge dx^\nu$ ser la forma electromagnética de dos.

Ahora deja $J^{\mu} = (c\rho, \textbf{J})$ sea el cuadrivector corriente contravariante.

Entonces, $J = \frac{1}{6} J^\mu \epsilon_{\mu \alpha \beta \gamma}dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma$ es la actual forma de tres.

Con estas definiciones, las ecuaciones de Maxwell se convierten en

d F = 0 (i)

$\begin{equation} dF = 0 \; \; \; (\textrm{i}) \end{equation}$

d (* F) = j (yo)

$\begin{equation} d(*F) = J \; \; \; (\textrm{ii}) \end{equation}$

(Recordar que $*$ es el operador estrella de Hodge).

Ahora, para extender estas ecuaciones de Maxwell a un espacio-tiempo curvo , parece que debemos alterar la forma actual de tres:

j = \frac{1}{6} \sqrt{| gramo |} j^{m} ϵ_{m α β γ} d X^{α} \land d X^{β} \land d X^{γ} (iii)

$\begin{equation} J = \frac{1}{6} \sqrt{|g|} J^\mu \epsilon_{\mu \alpha \beta \gamma}dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma \; \; \; (\textrm{iii}) \end{equation}$

Aquí, $\sqrt{|g|}$ es la raíz cuadrada del valor absoluto del determinante de la métrica covariante sobre la variedad de Riemann con la que estamos trabajando.

Con esta nueva definición de $J$ , las ecuaciones de Maxwell son solo las ecuaciones (i) y (ii).

Mi pregunta es la siguiente. ¿Por qué la simple modificación de la forma triple actual para incluir la forma de volumen pseudo-riemanniana "natural" $\sqrt{|g|} dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma$ ¿Nos permitiría usar la formulación del espacio-tiempo plano de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo?

G. Smith

Su expresión de espacio-tiempo curvo para

J

$J$ no se reduce a su expresión de espacio-tiempo plano. Ni siquiera tiene las mismas dimensiones. Así que algo está mal.

JG123

@ G. Smith ¿Es el

\frac{4 π}{c}

$\frac{4\pi}{c}$ que está causando problemas?

G. Smith

Sí, eso les impide ser iguales en el límite del espacio-tiempo plano y les da dimensiones diferentes.

G. Smith

La pregunta aquí es realmente sobre la generalización del tensor de Levi-Civita al espacio-tiempo curvo, no sobre la densidad de corriente. Ver Wikipedia .

G. Smith

Al generalizar al espacio-tiempo curvo, se toma la ecuación generalmente covariante más simple que se reduce en el espacio-tiempo plano a la ecuación conocida del espacio-tiempo plano.

G. Smith

Posiblemente podría haber términos adicionales que involucren tensores de curvatura, pero la receta más simple es simplemente hacer que las cosas sean generalmente covariantes en una variedad sin agregar términos de curvatura. Por ejemplo, en la notación de índice, simplemente reemplaza las derivadas con derivadas covariantes. En notación de forma, usa la forma de volumen natural y usa la derivada exterior o lo que sea

d

$d$ se llama. (Lo siento, aprendí esto hace mucho tiempo usando notación de índice en lugar de formas diferenciales).

JG123

@ G. Smith Veo la lógica en "tomar la ecuación covariante generalmente más simple que se reduce en el espacio-tiempo plano a la ecuación conocida del espacio-tiempo plano". Por supuesto, la formulación de espacio-tiempo curvo establecida anteriormente satisface este criterio (como

\sqrt{| g |} = 1

$\sqrt{|g|} = 1$ para el espacio de Minkowski). Supongo que mi siguiente pregunta es la siguiente. ¿Cómo sabemos que esta formulación del espacio-tiempo es correcta?

G. Smith

No estoy seguro de cuánta evidencia experimental, si es que hay alguna, tenemos actualmente de que esta receta es correcta. Los términos adicionales con curvatura solo serían significativos cerca de los agujeros negros, las estrellas de neutrones, etc. Hasta donde yo sé, las teorías de campo en el espacio-tiempo curvo tienen más interés teórico que una realidad experimental en este punto. La navaja de Occam es la mejor justificación de la prescripción minimalista.

Umaxo

@ G.Smith, ¿los términos adicionales no significarían que la luz podría dispersarse debido a la curvatura? Y dado que podemos observar la luz a 13 mil millones de años luz de distancia, eso, supongo, debería ser un buen límite superior para el acoplamiento entre los campos EM y gravitatorios.

G. Smith

@Umaxo Buena pregunta. Lo que sugieres parece plausible, pero no estoy seguro.

Respuestas (2)

Extendiendo las ecuaciones de Maxwell del espacio-tiempo plano al espacio-tiempo curvo

Su expresión de espacio-tiempo curvo para $J$ no se reduce a su expresión de espacio-tiempo plano. Ni siquiera tiene las mismas dimensiones. Así que algo está mal.
@ G. Smith ¿Es el $\frac{4\pi}{c}$ que está causando problemas?
Sí, eso les impide ser iguales en el límite del espacio-tiempo plano y les da dimensiones diferentes.
La pregunta aquí es realmente sobre la generalización del tensor de Levi-Civita al espacio-tiempo curvo, no sobre la densidad de corriente. Ver Wikipedia .
Al generalizar al espacio-tiempo curvo, se toma la ecuación generalmente covariante más simple que se reduce en el espacio-tiempo plano a la ecuación conocida del espacio-tiempo plano.
Posiblemente podría haber términos adicionales que involucren tensores de curvatura, pero la receta más simple es simplemente hacer que las cosas sean generalmente covariantes en una variedad sin agregar términos de curvatura. Por ejemplo, en la notación de índice, simplemente reemplaza las derivadas con derivadas covariantes. En notación de forma, usa la forma de volumen natural y usa la derivada exterior o lo que sea $d$ se llama. (Lo siento, aprendí esto hace mucho tiempo usando notación de índice en lugar de formas diferenciales).
@ G. Smith Veo la lógica en "tomar la ecuación covariante generalmente más simple que se reduce en el espacio-tiempo plano a la ecuación conocida del espacio-tiempo plano". Por supuesto, la formulación de espacio-tiempo curvo establecida anteriormente satisface este criterio (como $\sqrt{|g|} = 1$ para el espacio de Minkowski). Supongo que mi siguiente pregunta es la siguiente. ¿Cómo sabemos que esta formulación del espacio-tiempo es correcta?
No estoy seguro de cuánta evidencia experimental, si es que hay alguna, tenemos actualmente de que esta receta es correcta. Los términos adicionales con curvatura solo serían significativos cerca de los agujeros negros, las estrellas de neutrones, etc. Hasta donde yo sé, las teorías de campo en el espacio-tiempo curvo tienen más interés teórico que una realidad experimental en este punto. La navaja de Occam es la mejor justificación de la prescripción minimalista.
@ G.Smith, ¿los términos adicionales no significarían que la luz podría dispersarse debido a la curvatura? Y dado que podemos observar la luz a 13 mil millones de años luz de distancia, eso, supongo, debería ser un buen límite superior para el acoplamiento entre los campos EM y gravitatorios.
@Umaxo Buena pregunta. Lo que sugieres parece plausible, pero no estoy seguro.

Vacío · Answer 1

La idea de generalizar las leyes al espacio-tiempo curvo es notar que nosotros mismos vivimos en un espacio-tiempo curvo. Lo que conocemos como "ecuaciones planas de espacio-tiempo" son, de hecho, ecuaciones en el espacio-tiempo curvo derivadas/descubiertas en nuestro marco (casi) inercial local. Entonces podemos derivar su forma curvilínea simplemente transformándola a un marco general. Esto se hace principalmente reemplazando cualquier uso de la estructura métrica de Minkowski por una pseudo-Riemanniana general.

Específicamente en el caso de las ecuaciones de Maxwell, la forma de geometría diferencial ya es casi covariante. Pero tenga en cuenta que está utilizando una estructura métrica en dos puntos, y ambos se pueden caracterizar por utilizar el dual de Hodge . Utilizo una definición de dual de Hodge que me lleva de $\Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M}$ a $\Lambda^{(n-k)}T^{*}\!\mathcal{M}$ , dónde $n$ es la dimensión de la variedad $\mathcal{M}$ (esto es diferente a la definición utilizada en la página de wikipedia). La forma más práctica de definir este dual de Hodge para cualquier forma. $\alpha \in \Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M}$ es exigir que

(* α) \land β = β (α^{# k}) ω, \forall β \in Λ^{k} T^{*} METRO,

$(*\alpha) \wedge \beta = \beta(\alpha^{\#k}) \omega, \forall \beta \in \Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M},$ dónde

α^{# k} \in T^{k} M

$\alpha^{\#k}\in T^k\! \mathcal{M}$ se obtiene elevando todos los índices de

α

$\alpha$ , y

ω

$\omega$ es la forma de volumen pseudo-riemanniana

ω = \sqrt{| g |} d x^{1} \land . . . \land d x^{n}

$\omega = \sqrt{|g|} \mathrm{d}x^1\wedge...\wedge \mathrm{d}x^n$ (tenga en cuenta que

\sqrt{| η |} = 1

$\sqrt{|\eta|} = 1$ en coordenadas cartesianas/minkowski y nos especializamos en

n = 4

$n=4$ ). Ahora puede ver que el dual de Hodge se puede obtener contrayendo la forma de volumen

ω

$\omega$ con

α^{# k}

$\alpha^{\#k}$ .

Volvamos a las ecuaciones de Maxwell. Lo que usted llama la forma 3 actual es, de hecho, el dual de Hodge de la forma 1 actual $j = j_\mu \mathrm{d}x^\mu, J = *j$ . En su estado de cuenta, utiliza la generación del dual mediante la contratación con la forma de volumen, que normalmente se expresaría como

j \equiv * j = ω (j^{#}, \cdot, \cdot, \cdot) = {yo}_{j^{#}} ω = \frac{1}{3!} j_{m} {gramo}^{m v} \sqrt{| gramo |} ϵ_{v λ k γ} d X^{λ} \land d X^{k} \land d X^{γ}

$J \equiv *j = \omega (j^{\#},\cdot,\cdot,\cdot) = \iota_{j^{\#}}\omega = \frac{1}{3!} j_\mu g^{\mu\nu} \sqrt{|g|}\epsilon_{\nu\lambda\kappa\gamma} \mathrm{d}x^\lambda\wedge\mathrm{d}x^\kappa\wedge\mathrm{d}x^\gamma$ Aquí puedes identificar

j^{#} \equiv j_{μ} g^{μ ν} \partial_{ν} = J^{ν} \partial_{ν}

$j^\# \equiv j_\mu g^{\mu\nu} \partial_\nu = J^\nu \partial_\nu$ como su vector actual (pero tenga en cuenta que en las variedades métricas, los objetos con índices elevados y reducidos se consideran objetos idénticos expresados de manera diferente).

En resumen, el enunciado covariante de las ecuaciones de Maxwell es

d F = 0,

$\mathrm{d}F = 0\,,$

d (* F) = * j,

$\mathrm{d}(*F) = *j\,,$ donde hay que recordar que el dual de Hodge ahora es generado por la métrica general

g

$g$ . La última línea en realidad se escribe muy a menudo como

* [d (* F)] = j

$*[\mathrm{d}(*F)] = j$ (que es equivalente a la de arriba ya que la estrella de Hodge es dual ).

Tenga en cuenta que esto trata a la estrella de Hodge como un mapa de $\bigwedge^k TM \to \bigwedge^{n−k} T^*M$ en lugar de $\bigwedge^k T^*M \to \bigwedge^{n−k} T^*M$ . También creo que el factor $\frac1{3!}$ es innecesario Con la última convención y asumiendo que tengo razón sobre el factorial, tendríamos $J = \star(j^\flat)=\star(\iota_j\,g) = \iota_j\,\omega$ .
Bien, gracias. No tendría sentido escribir $d(*F)$ como esto. y los diversos factores $1/n!,...$ aparecen solo para componentes de coordenadas, verdadero (los índices abstractos son mi elección habitual de veneno).
@ Void Quizás podría aclarar las operaciones que ocurren en la expresión: " $\beta (\alpha^{k}) \omega$ "
@ JG123 Es una contracción ( $\beta$ es una forma k y $\alpha^{\#k}$ es un k-vector).
@ Void ¿Por qué la derivada interior de $\omega$ , $\iota_{j ^{\#}} \omega$ , igual al dual de Hodge de la forma 1 actual?
@ JG123 Una vez más, esta es una cuestión de notación, $\iota_{j^{\#}} \omega$ es una contracción de $j^{\#}$ en $\omega$ . Siento que una vez que vas más allá de los cálculos elementales, el formalismo de índice abstracto es mucho más transparente, pero tu publicación original usaba la notación "sin índice"...
@ Void ¡Gracias por la ayuda! La perspectiva matemática dada aquí me ayudó bastante.

Cristóbal · Answer 2

Cristóbal

Per se, esto no tiene nada que ver con la relatividad o la curvatura: el factor de $\sqrt{|g|}$ viene por una razón similar que hace que el determinante del jacobiano aparezca en la fórmula de sustitución para la integración de múltiples variables : al integrar, debe tener en cuenta el volumen de la celda unitaria abarcada por su marco de coordenadas. Entonces, si está utilizando coordenadas curvilíneas genéricas en lugar de pseudo-euclidianas, también debe agregarlas a la expresión para el espacio-tiempo de Minkowski.

JG123

@ Christoph Así que el

\sqrt{| g |}

$\sqrt{|g|}$ ¿El término solo representa un cambio de coordenadas?

Cristóbal

Sí. Esencialmente, al integrar, debe tener en cuenta el volumen de la celda unitaria que abarca su marco de coordenadas. Se vuelve un poco confuso porque hay diferentes formas de dividir este pastel particular de definir cantidades medibles, por ejemplo, considere el escalar

ρ

$\rho$ vs la densidad escalar

r = ρ \sqrt{| g |}

$\mathfrak{r}=\rho\sqrt{|g|}$ vs la forma de volumen

ω = ρ \sqrt{| g |} d x^{1} \land \dots \land d x^{n}

$\omega = \rho\sqrt{|g|} dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ vs el elemento de volumen/pseudo-forma

| ω | = ρ \sqrt{| g |} d^{n} x

$|\omega| = \rho\sqrt{|g|}d^nx$

Extendiendo las ecuaciones de Maxwell del espacio-tiempo plano al espacio-tiempo curvo

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