¿Explicación del método de relajación para la ecuación de Laplace?

Actualmente leyendo Introducción a la electrodinámica (4ª edición) de Griffiths. Estoy tratando de entender la Ecuación de Laplace, aquí hay un par de citas que me gustaría entender un poco mejor:

"La ecuación de Laplace es una especie de instrucción de promedio; le dice que asigne al punto X el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha de X . Las soluciones a la ecuación de Laplace son, en este sentido, tan aburridas como podrían ser y, sin embargo, se ajustan correctamente a los puntos finales". (página 115)

Entonces aquí entiendo que la ecuación de Laplace es una instrucción de promedio, pero ¿por qué es así? ¿Por qué tiene esta propiedad? Además, ¿qué quiere decir con "ajustar los puntos finales correctamente"?

Otra cita:

"El valor de V en un punto ( X , y ) es el promedio de los que están alrededor del punto. Más precisamente, si dibujas un círculo de cualquier radio R sobre el punto ( X , y ) , el valor promedio de V en el círculo es igual al valor en el centro:

V ( X , y ) = 1 2 π R ∫ V d yo

Esto, dicho sea de paso, sugiere el método de relajación, en el que se basan las soluciones informáticas de la ecuación de Laplace: comenzando con valores específicos para V en la frontera y conjeturas razonables para V en una cuadrícula de puntos interiores, el primer paso reasigna a cada punto el promedio de sus vecinos más cercanos. La segunda pasada repite el proceso, utilizando los valores corregidos, y así sucesivamente." (página 117)

Entonces, ¿cómo es exactamente esto y por qué funciona? Traté de buscar una explicación de esto, pero me confundí (ver imagen adjunta). Siento que hay cierto conocimiento de las propiedades que me faltan que luego impiden mi comprensión de las matemáticas utilizadas. Por ejemplo, ¿cómo pasamos de los parciales a la segunda ecuación? Entiendo que se está tomando un promedio, pero ¿por qué es h 2 en la parte inferior, y ¿por qué el tercer término en cada numerador?

Mi curso no requiere necesariamente la comprensión de estas cosas, solo cómo usarlas, pero aún así me gustaría intentar construir una comprensión intuitiva de la ecuación de Laplace y el método de relajación.

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Respuestas (1)

Básicamente has descubierto la discretización del espacio real . Por supuesto, recuerdas la definición de la derivada ,

(1) F ′ ( X ) = límite h → 0 F ( X + h ) − F ( X ) h
La discretización elimina el límite y (1) se convierte en una aproximación:
F ′ ( X ) ≈ F ( X + h ) − F ( X ) h
que es útil para resolver PDEs numéricamente ; el h aquí es casi lo mismo que el h En 1). Con las segundas derivadas, se toma la diferencia (hacia atrás) de la diferencia (hacia adelante):
F ″ ( X ) ≈ F ′ ( X + h ) − F ′ ( X ) h ≈ 1 h [ F ( X + h ) − F ( X ) h − F ( X ) − F ( X − h ) h ] ≈ 1 h 2 [ F ( X + h ) − F ( X ) − F ( X ) + F ( X − h ) ] ≈ 1 h 2 [ F ( h + X ) − 2 F ( X ) + F ( h − X ) ]
Extender a 2D es más o menos lo mismo. La ecuación (4) es simplemente resolver la ecuación (3) para Φ ( X , y ) , lo que muestra que el nuevo valor de Φ ( X , y ) es aproximadamente el promedio de los 4 valores a su alrededor.

Existen varios métodos de técnicas de relajación , pero lo que se describe es básicamente el más simple de ellos:

  1. Poner conjetura inicial para Φ ( X , y ) ∀ X , y
  2. Aplicar condiciones de contorno en Φ ( X , y )
  3. Para cada punto interior, actualice Φ ( X , y ) dada tu Ecuación (4)
  4. Verifique esta nueva solución con la versión anterior para la tolerancia; si la tolerancia es aceptable, entonces esta es su solución; de lo contrario, es la próxima prueba.

Para más métodos de relajación vea esta página .

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