Expansión del vector de estado de múltiples partículas como una suma de n estados entrelazados

Question

Expansión del vector de estado de múltiples partículas como una suma de n estados entrelazados

Física
materia Condensada
mecánica cuántica
entrelazamiento cuántico
bose-einstein-condensado

acechador

Físicamente, el entrelazamiento cuántico va desde el entrelazamiento completo de largo alcance (condensado de Bose-Einstein), descrito por una base de estados que se ven así:

| Ψ ⟩ = | ϕ_{i_{0} i_{1} . . . i_{norte}} ⟩

$|\Psi\rangle = |\phi_{i_{0} i_{1} ... i_{N}}\rangle$

a la decoherencia total (un gas ideal de Maxwell-Boltzmann) que tiene una base de estados que se ven así:

| Ψ ⟩ = \prod_{i} | ϕ_{i} ⟩

$|\Psi\rangle = \prod_{i}{ |\phi_{i}\rangle }$

Y en el medio de este rango tenemos términos de entrelazamiento de 2 partículas, entrelazamiento de 3 partículas, etc.

Entonces parece natural organizar la función de onda como una serie que se parece a:

| Ψ ⟩ = \sum \prod_{i} | ϕ_{i} ⟩ + \sum {\prod_{i_{0}, i_{1} > i_{0}} | ϕ_{i_{0} i_{1}} ⟩} + \sum {\prod_{i_{0}, i_{1} > i_{0}, i_{2} > i_{1}} | ϕ_{i_{0} i_{1} i_{2}} ⟩} + \dots

$|\Psi\rangle = \sum{ \prod_{i}{ |\phi_{i}\rangle } } + \sum{ \lbrace \prod_{i_{0} ,i_{1} > i_{0}}{ |\phi_{i_{0} i_{1}}\rangle } \rbrace } + \sum{ \lbrace \prod_{i_{0} ,i_{1} > i_{0} , i_{2} > i_{1}}{ |\phi_{i_{0} i_{1} i_{2}}\rangle } \rbrace } + \dotsb$

COMENZAR A EDITAR Siento que necesito aclarar un poco más las matemáticas detrás de esta separación. Tomemos un vector de estado arbitrario $|\Psi\rangle$ , podríamos escribirlo así:

| Ψ ⟩ = \prod_{i} C_{i}^{0} | ϕ_{i} ⟩ + | Ψ_{R mi metro a i norte d mi r} ⟩

$|\Psi\rangle = \prod_{i}{ c^{0}_{i} |\phi_{i}\rangle } + |\Psi_{Remainder}\rangle$

Es decir, escribimos el vector de estado como un vector que es completamente separable y un resto que no lo es. Esta descomposición es única . Prueba: tomar otra descomposición con $\widehat{c^{0}_{i}}$ , tome la diferencia entre ambas descomposiciones y verifique que ambos residuos son completamente separables, lo que va en contra de la definición

La idea es que uno debería poder promover esta descomposición del vector de estado restante, por ejemplo, tomemos un vector con cero parte completamente separable (es decir, estamos en la clase de equivalencia de nuestro resto anterior) e intentemos escribirlo como :

| Ψ_{R_{0}} ⟩ = \prod_{i_{0}, i_{1} > i_{0}} C_{i_{0} i_{1}}^{1} | ϕ_{i_{0} i_{1}} ⟩ + | Ψ_{R_{1}} ⟩

$|\Psi_{R_0}\rangle = \prod_{i_{0} ,i_{1} > i_{0}}{ c^{1}_{i_0 i_1} |\phi_{i_{0} i_{1}}\rangle } + |\Psi_{R_1}\rangle$

Análogamente, se puede probar que el $c^{1}_{i_0 i_1}$ son únicos y dependen únicamente de la $|\Psi_{R_0}\rangle$ vector. Y no necesitamos hacer ninguna operación de simetrización para obtener este resultado, así que esta es una descomposición universal del vector de estado (para bosones y fermiones)

(nota: soy consciente de que esto deja fuera muchos productos con entrelazamiento mixto, es decir, algunos estados de una sola partícula multiplicados por estados entrelazados de dos partículas, pero dado que no agregan nada a este argumento en particular, elegí dejar ellos a un lado)

FIN DE EDITAR

COMENZAR 2ª EDICIÓN

la separabilidad de estados es una propiedad que es invariante bajo transformaciones unitarias, por lo que un estado separable no es equivalente a uno separable en cualquier base que elija.

He investigado un poco más y el problema en general de saber si un estado es separable o no se conoce como QSP (problema de separabilidad cuántica). Para una definición por favor mire este documento

FIN 2ª EDICIÓN

Pregunta: ¿Dónde puedo leer más sobre este tipo de expansión? ¿Sabe si hay un marco computacional para estimar las magnitudes relativas de cada término (por ejemplo, esperaría que para los condensados de Bose-Einstein necesite mantener todos los términos de la expansión, mientras que para sólidos de temperatura relativamente alta podría salirse con la suya con 3 o 4 términos)

usuario346

No creo que exista ningún método general para descomponer un estado general de muchos cuerpos de esta manera. Si tuvieras que descubrir uno, sería enorme. Pero genial idea.

Lagerbaer

Me gusta la idea. Pero, ¿estás hablando de la función de onda o de un conjunto representado por una matriz de densidad? Para la función de onda, los productos (anti-)simetrizados

\prod_{i} | ϕ_{i} ⟩

$\prod_i |\phi_i\rangle$ ya forman un conjunto completo de estados básicos, por lo que cada función de onda se puede escribir como una combinación lineal de estos. Para Fermiones, por ejemplo, sería una combinación lineal de Determinantes Slater.

johannes

En la mecánica estadística clásica, se usa la expansión de conglomerados para derivar la ecuación de Van der Waals. Esta es una expansión en las potencias del número de partículas que interactúan. No sé nada sobre su aplicación a la mecánica estadística cuántica.

acechador

@Johannes, exactamente! esto es lo que estoy buscando; no conocía el término, una versión cuántica de la expansión virial; sin embargo, creo que esto se vuelve sutil porque las interacciones y el enredo están relacionados entre sí, pero tienen una superposición no muy clara.

usuario346

@Lurscher, la pregunta de si un estado es separable o no se responde claramente en el artículo de Miyake sobre la clasificación del entrelazamiento multipartito. Uno tiene que darse cuenta de que el espacio de estado para un vector que vive en un

k + 1

$k+1$ El espacio dimensional de Hilbert es el espacio proyectivo complejo

C P^{k}

$CP^k$ . El espacio del sistema compuesto de dos "partículas" en un

k_{1} + 1

$k_1+1$ y

k_{2} + 1

$k_2+1$ espacios dimensionales de hilbert respectivamente es

C P^{(k_{1} + 1) (k_{2} + 1) - 1}

$CP^{(k_1+1)(k_2+1)-1}$ . El subespacio que consta de estados separables es de la forma

C P^{k_{1}} \times C P^{k_{2}}

$CP^{k_1} \times CP^{k_2}$ . Este último tiene una incrustación en el

usuario346

C P^{k_{1}} \times C P^{k_{2}} \in C P^{(k_{1} + 1) (k_{2} + 1) - 1}

$CP^{k_1} \times CP^{k_2} \in CP^{(k_1+1)(k_2+1)-1}$ conocida como empotramiento del Segre. Comprender la estructura de esta incrustación nos permite clasificar todos los estados entrelazados multipartitos en términos de hiperdeterminantes que son la generalización del determinante para el caso de objetos con más de dos índices. Para una descripción muy pedagógica e intuitiva de esta imagen geométrica ver el artículo de Bengtsson et al. . ¡El resultado final de todo esto es que uno necesita ir más allá de los determinantes de slater para comprender el entrelazamiento multipartito!

acechador

@Deepak, cosas muy interesantes...

Respuestas (1)

Expansión del vector de estado de múltiples partículas como una suma de n estados entrelazados

No creo que exista ningún método general para descomponer un estado general de muchos cuerpos de esta manera. Si tuvieras que descubrir uno, sería enorme. Pero genial idea.
Me gusta la idea. Pero, ¿estás hablando de la función de onda o de un conjunto representado por una matriz de densidad? Para la función de onda, los productos (anti-)simetrizados $\prod_i |\phi_i\rangle$ ya forman un conjunto completo de estados básicos, por lo que cada función de onda se puede escribir como una combinación lineal de estos. Para Fermiones, por ejemplo, sería una combinación lineal de Determinantes Slater.
En la mecánica estadística clásica, se usa la expansión de conglomerados para derivar la ecuación de Van der Waals. Esta es una expansión en las potencias del número de partículas que interactúan. No sé nada sobre su aplicación a la mecánica estadística cuántica.
@Johannes, exactamente! esto es lo que estoy buscando; no conocía el término, una versión cuántica de la expansión virial; sin embargo, creo que esto se vuelve sutil porque las interacciones y el enredo están relacionados entre sí, pero tienen una superposición no muy clara.
@Lurscher, la pregunta de si un estado es separable o no se responde claramente en el artículo de Miyake sobre la clasificación del entrelazamiento multipartito. Uno tiene que darse cuenta de que el espacio de estado para un vector que vive en un $k+1$ El espacio dimensional de Hilbert es el espacio proyectivo complejo $CP^k$ . El espacio del sistema compuesto de dos "partículas" en un $k_1+1$ y $k_2+1$ espacios dimensionales de hilbert respectivamente es $CP^{(k_1+1)(k_2+1)-1}$ . El subespacio que consta de estados separables es de la forma $CP^{k_1} \times CP^{k_2}$ . Este último tiene una incrustación en el
anterior: $CP^{k_1} \times CP^{k_2} \in CP^{(k_1+1)(k_2+1)-1}$ conocida como empotramiento del Segre. Comprender la estructura de esta incrustación nos permite clasificar todos los estados entrelazados multipartitos en términos de hiperdeterminantes que son la generalización del determinante para el caso de objetos con más de dos índices. Para una descripción muy pedagógica e intuitiva de esta imagen geométrica ver el artículo de Bengtsson et al. . ¡El resultado final de todo esto es que uno necesita ir más allá de los determinantes de slater para comprender el entrelazamiento multipartito!

wsc · Answer 1

Lagerbaer lo hace bien en los comentarios:

El conjunto de todos los estados del producto (adecuadamente [anti-]simetrizados) es una base completa. Eso es todo, juego terminado. Entonces, la primera suma de tu serie representa todos los estados posibles.

También podríamos hacer bases (generalmente demasiado completas) que consisten completamente en productos de pares entrelazados al máximo; por ejemplo, la base del enlace de valencia es la descripción natural para los estados resonantes del enlace de valencia (o enlace de valencia sólido). Por lo tanto, el segundo término de su serie, por sí mismo, también podría representar una base completa de muchos cuerpos.

Sin embargo, hay una falla implícita en la notación, y esto tiene que ver con la monogamia del entrelazamiento: si dos partículas en mi sistema están entrelazadas al máximo, ¡no pueden entrelazarse con nada más! Mi punto es: tienes que ser más claro con lo que quieres decir con "enredo en un BEC". Sí, un BEC tiene correlaciones de largo alcance , ¡ pero el BEC ideal sigue siendo un estado de producto !

En cualquier caso, en lo que respecta a estimar las contribuciones relativas, escribir el mejor estado fundamental del producto posible para un determinado hamiltoniano interactivo es esencialmente una teoría del campo medio. El verdadero estado fundamental tendrá correcciones que serán superposiciones de estados, pero aún en la base del producto. Como nota al margen, para una forma particularmente linda de ir un poco más allá de MFT en un lenguaje que ayuda a comprender lo que implica el entrelazamiento en estados de muchos cuerpos, busque el algoritmo "Estados térmicos típicos mínimamente entrelazados" de Steve White.

EDITAR: después de editar en el OP ... Bien, entonces el punto es que los estados no separables no son objetos tan diferentes de los estados separables (al menos cuando se habla de estados puros). La estructura del espacio de Hilbert es tal que cuando tomo dos objetos y los combino, ¡obtengo una base completa de todos los productos tensoriales posibles de las dos bases originales! Como ejemplo, supongamos que mezclo dos qubits: puedo escribir cualquier estado como el vector

| Ψ ⟩ = \sum_{i j} C_{i j} | i ⟩ | j ⟩

$|\Psi\rangle=\sum_{ij}c_{ij}|i\rangle|j\rangle$ Los estados no separables son estados como los estados de Bell con, por ejemplo,

c_{01} = c_{10} = 0, c_{11} = c_{00} = 1 / \sqrt{2}

$c_{01}=c_{10}=0, c_{11}=c_{00}=1/\sqrt{2}$ . No hay parte separable versus parte no separable, el estado es una superposición de estados de productos y no es separable porque no se puede escribir como un solo producto sin la suma. Por su edición, parece que entiende esto, pero siento la necesidad de ser explícito.

Además, podríamos imaginarnos escribir estados en la base de Bell; nadie me puede impedir que escriba

| Ψ ⟩ = C_{1} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) + C_{2} (| 00 ⟩ - | 11 ⟩) + C_{3} (| 10 ⟩ + | 01 ⟩) + C_{4} (| 10 ⟩ - | 01 ⟩)

$|\Psi\rangle=c_{1}(|00\rangle+|11\rangle)+c_{2}(|00\rangle-|11\rangle)+c_{3}(|10\rangle+|01\rangle)+c_{4}(|10\rangle-|01\rangle)$ Parece que esto es lo que imaginas como el segundo término de tu serie, pero no es más que una rotación de mi base original. No gano nada mezclando mis descripciones: la base original ya proporcionaba una descripción completa de estados no separables.

@wsc buena respuesta +1. Sí, un BEC tiene correlaciones de largo alcance, ¡pero el BEC ideal sigue siendo un estado de producto! ... hay un artículo de C. Simon que afirma que cada BEC está altamente enredado. No estoy seguro si sigo su línea de razonamiento. Entonces, ¿cuál es? o igualmente, ¿cuál debería ser? para un BEC.
Ah, es por eso que dije que el OP tenía que ser más claro. Si observa el artículo de Simon, lo que está demostrando es un entrelazamiento entre dos regiones espacialmente separadas, no un entrelazamiento entre los grados de libertad internos (los bosones). Es algo sutil, pero si lo piensas bien (¡y haces un poco de matemática!) también puedes demostrar que incluso una onda plana simple en una red 1D puede "enredar" dos mitades de la red a través de algún corte.
Y, de hecho, mientras leo más, Simons aclara muy bien que su resultado es una peculiaridad de escribir su función de onda BEC en la base de números fijos [ y aquí viene la parte en la que admito que pienso en BEC casi exclusivamente en términos de estados coherentes. .. ]
@wsc I LOL mientras leo sus comentarios. Cierto sobre el ejemplo de la onda plana. También siguiendo la línea de argumentación de Srednicki, ¿no hay ningún subsistema de un QFT entrelazado con su complemento a través de su límite común? Solo mira el estado fundamental de un escalar sin masa que no interactúa. Pero si existe tal resultado para un escalar sin masa, entonces uno debería poder extenderlo... ¡muestra cuánto tengo que ponerme al día para llegar a la comprensión actual de este material!
No estoy familiarizado con el trabajo de Srednicki sobre el tema, pero incluso en el documento que vinculó había una nota al pie sobre el vacío de los QFT relativistas que generalmente se enredan en el sentido que él describe. De todos modos, no pretendo tener experiencia, pero creo que se está aprendiendo mucho sobre la naturaleza del entrelazamiento tanto en QFT relativista como no relativista y no nos hacemos ningún favor mezclando nuestras palabras e intuiciones QM elementales cuando hay tanto. matemáticas por hacer!
@wsc, ¡gracias por tu respuesta! Me doy cuenta de que mi lenguaje era muy ambiguo, edité mi pregunta para hacer más formal la separación de la función de onda en grupos entrelazados. No estoy seguro, pero probablemente algunos de estos factores de descomposición sean cero por el argumento de @Lagerbaer después de hacer la simetrización o la antisimetrización. Pero eso no es inmediatamente obvio para mí todavía.
@wsc eso no es cierto, la separabilidad de los estados es una propiedad que es invariante bajo transformaciones unitarias, por lo que un estado separable no es equivalente a uno separable en cualquier base que elija. El problema en general de saber si un estado es separable o no se conoce como QSP (quantum separability problem). Para obtener una definición, consulte arxiv.org/abs/cs/0603047
¿Qué es exactamente lo que no es cierto? La invariancia unitaria significa precisamente que un estado separable es separable en cualquier base. Los estados entrelazados son solo superposiciones especiales de estados de productos no entrelazados. No tienen ninguna otra base especial.
Ok, entonces debo haber entendido mal lo que dijiste. Recapitulando lo que aprendí de esta discusión; 1) un estado se puede dividir en componentes separables, parcialmente separables y no separables que permanecen iguales bajo cualquier transformación unitaria, y 2) las matemáticas para calcular las propiedades de estos componentes se explican en el artículo de Miyake sobre hiperdeterminantes que Deepak publicó como comentario a mi pregunta (que está muy por encima de mi cabeza atm, pero se ve muy, muy interesante)
No no no; todo mi punto es que los estados simplemente son separables o no lo son. Algunos estados entrelazados están "más entrelazados" que otros (a juzgar, por ejemplo, por el número de valores singulares distintos de cero en el SVD de la matriz de densidad reducida, para el entrelazamiento bipartito), pero no hay absolutamente ningún beneficio en tratar de escribir el estado como una "parte separable" y una "parte no separable". Este documento de Miyaki en realidad se ve bastante limpio; sin embargo, preste mucha atención a la forma en que escribe los estados.

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