¿Existen soluciones analíticas exactas para los estados electrónicos del ion molecular de hidrógeno H+2H2+\mathrm H_2^+?

El ion molecular de hidrógeno (también conocido como catión dihidrógeno) H 2 + es el sistema molecular más simple posible y, como tal, esperaría poder tener cierto margen de maniobra para resolverlo, pero resulta que es mucho más difícil de lo que esperaba. Resulta que, si lo expresa en coordenadas esferoidales, entonces la ecuación de Schrödinger estacionaria para el electrón (con núcleos estacionarios),

(1) [ − 1 2 ∇ 2 − 1 ‖ r − R 1 ‖ − 1 ‖ r − R 2 ‖ ] ψ ( r ) = mi ψ ( r )
se vuelve separable, pero, lo último que escuché , las ecuaciones resultantes no admiten ecuaciones analíticas exactas en algo que llamarías forma cerrada o similar a una función especial.

(Más específicamente, la separación no es tan limpia como en el átomo de hidrógeno, donde se obtienen problemas de valores propios angulares y luego radiales, pero en su lugar se obtiene un 'problema de valores propios dobles' acoplado que es más difícil de resolver).

Por otro lado, Wikipedia enumera el sistema en su Lista de sistemas mecánicos cuánticos con soluciones analíticas con una nota de que hay "Soluciones en términos de la función Lambert W generalizada", así que tal vez me esté perdiendo algo.

Rastrear las referencias de Wikipedia conduce a arXiv:physics/0607081 , que me parece que solo (i) solo funciona para el valor propio, no para las funciones propias, (ii) funciona con generalizaciones de Lambert W y (iii) tampoco tener una forma particularmente cerrada. Sin embargo, es posible que me esté perdiendo el final de algún rastro de referencia aquí.

Entonces: ¿hay funciones propias conocidas de ( 1 ) en forma analítica exacta, o incluso en términos de funciones especiales (cuya definición va más allá de "la solución de esta ecuación dada")?

Si la respuesta a esto es negativa, entonces probablemente sea una tarea muy difícil de probar, ya que las afirmaciones del tipo "no hay ningún resultado de ese tipo en la literatura" son inherentemente difíciles de atar. En ese caso, sin embargo, me conformaré con una exploración exhaustiva de la literatura señalada por el reclamo de Wikipedia y una explicación de lo que proporciona y lo que no proporciona.

Edito , dada la gran cantidad (actualmente 8) de no respuestas que ha recibido este hilo. Aparentemente, algunas aclaraciones están en orden.

  • La cuestión de si una solución dada califica o no para la descripción de 'analítica', 'forma cerrada' o 'exacta' es obviamente una llamada subjetiva en un grado no trivial. Sin embargo, hay muchos matices de gris interesantes entre 'la solución es una función elemental ' y 'si defines la función especial F como la solución de la ecuación, entonces la ecuación se puede resolver en términos de funciones especiales', y quiero saber dónde se encuentra este problema entre esos dos extremos.

    Como tal, me gustaría poner el listón en las funciones que incluyen al menos una conexión no trivial. Por lo tanto, diría que una solución directa en serie del método de Frobenius no es realmente suficiente si no tiene más análisis ni conexiones adicionales con otras propiedades de las funciones resultantes. (En particular, si uno quiere permitir soluciones en serie sin más conexiones, entonces vale la pena considerar cuidadosamente qué otros sistemas se vuelven 'solubles' en el mismo grado).

  • Es bien sabido que existen soluciones aproximadas y numéricas perfectamente buenas para este problema, incluidas varias que son sistemáticamente convergentes; además, incluso si existe una solución analítica, esas soluciones numéricas y aproximadas son probablemente más útiles y posiblemente más precisas que la solución 'exacta'. Eso es irrelevante para la pregunta en cuestión, que se trata simplemente de hasta qué punto (o la falta de ella) uno puede llevar los métodos analíticos "exactos" en la mecánica cuántica.

  • Obviamente, la ecuación de Schrödinger en juego aquí es una aproximación (ya que ignora, por ejemplo, el movimiento nuclear y los efectos relativistas como el acoplamiento espín-órbita y otros efectos de estructura fina), pero eso es irrelevante para la cuestión de si este problema específico tiene soluciones exactas o no.
Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .
Tal vez de interés, en este artículo soluciones a H 2 + en 2D se discuten, pero solo se obtienen funciones de onda aproximadas: Ión molecular de hidrógeno y molécula en dos dimensiones, doi.org/10.1063/1.1531103

Respuestas (3)

Para evitar volver a pisar terreno antiguo, esta respuesta contiene literatura anterior que se ha mencionado en este hilo, así como la capa superficial que se puede obtener a través de búsquedas ingenuas en Google:

De esta lista, los trabajos de Wilson, Teller, Jaffé, Hylleraas, Burrau y Bates contienen derivaciones de la separación de variables así como una solución en serie para las ecuaciones acopladas resultantes, en las que la condición de cuantización suele aparecer, si entiendo bien, como el requisito de que la constante de separación m Sea un cero de una función definida por una fracción continua , como

F ( m ) = m + 1 ⋅ 2 λ 2 2 ⋅ 3 1 − m 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4 λ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 1 − m 4 ⋅ 5 − 5 ⋅ 6 λ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 1 − m 6 ⋅ 7 − ⋯ = 0 ,
dónde λ es esencialmente el valor propio de la energía.

Soy extremadamente reacio a llamar a estas soluciones en serie como 'exactas' o 'analíticas', aunque, por supuesto, esto implica un juicio personal. (Como contraste, no soy tan reacio a llamar a la solución de Braak del modelo Rabi una solución analítica, aunque comparte muchas características con las de esta lista de referencia. Hasta cierto punto, eso se debe a que es más reciente, por lo que hay no ha habido suficiente tiempo para decir si hay más conexiones que hacer con esas soluciones, pero intuitivamente sienten que tienen más "estructura" a su alrededor). Sin embargo, tal vez alguien pueda venir con una revisión y una exposición simplificada de la serie. soluciones, y argumentar que las funciones que definen son tan 'forma cerrada' como, digamos,

La solución a este problema (electrón único en el campo de dos protones fijos (o más generalmente dos partículas cargadas pesadas fijas) se obtiene en coordenadas esferoidales alargadas (con focos de los esferoides en las ubicaciones de las cargas fijas). Véase, por ejemplo,

http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_13/node3.html

u otras referencias encontradas usando Google® en "solución exacta de iones moleculares de hidrógeno". Estas soluciones se conocen desde hace mucho tiempo. Las soluciones al equivalente de la ecuación radial se pueden expresar como funciones de Lambert, como han señalado otros, y se pueden evaluar con gran precisión utilizando métodos numéricos estándar (que deben usarse para cualquier función no polinomial en cualquier caso).

Como se indica en la pregunta, la separabilidad de la ecuación es material estándar, pero el problema aquí es encontrar soluciones analíticas exactas para las ecuaciones separadas. Su enlace proporciona lo primero, pero no solo un reclamo sin fundamento y sin referencia sobre el segundo, por lo que no es una respuesta a la pregunta planteada.
¿Qué quiere decir con "solución analítica exacta"? ¿Una serie infinita convergente? ¿Por qué una serie de este tipo es superior a un esquema de aproximación convergente diferente que es más rápido de utilizar en el cálculo real? El artículo arXiv: physics/0607081, encontrado por el cartel de la pregunta, parece ser lo más lejos posible, al menos por ahora,
Como se mencionó varias veces en la pregunta y los comentarios, de hecho, hay una línea borrosa con respecto a lo que constituye y no constituye una solución analítica, pero el problema aquí es discutible porque su referencia no tiene ninguna solución, exacta o no. De manera similar, como se mencionó anteriormente, es muy poco probable que una solución analítica de este tipo sea más útil que los métodos de química cuántica convergente, pero eso no tiene nada que ver con la cuestión de si existe o no. (Si no encuentra esa pregunta interesante, entonces también es una elección personal válida).
Y, nuevamente como se menciona en la pregunta, si la respuesta es negativa, como indica su comentario, entonces una revisión adecuada de lo que contiene y no contiene el rastro de referencia de Wikipedia constituiría una respuesta razonable aquí.

Sí, se ha hecho analíticamente con un truncamiento del número infinito de funciones básicas que muchos y yo mismo debemos hacer exactamente para el caso no relativista, ya que en general todos los problemas cuánticos no relativistas de estado ligado, no Born Oppenhiemer. Las fuerzas de culombio solo se pueden hacer con elementos de matriz en forma cerrada. Por supuesto, esta no es una solución exacta de ninguna manera. Véase, por ejemplo, Hyperspherical_harmonics_as_Sturmian_orbitals_in_m.pdf, que cualquiera puede descargar de Internet. El título del artículo es 'Armónicos hiperesféricos como orbitales de Sturmian en el espacio de impulso: un enfoque sistemático del problema de Coulomb de pocos cuerpos' por Vincenzo Aquilanti et al. y las referencias en el mismo. Si esto es lo que quiere decir con analítico, entonces sí.

Esto me parece una no respuesta. Como mínimo, debe proporcionar una descripción concisa y un poco completa de las soluciones a las que se refiere, junto con referencias completas a los documentos que las presentan. (Para mayor claridad, ninguna de las referencias en la versión actual hace la barra). Aún así, a partir de las descripciones incompletas que ha proporcionado, nada aquí parece ser realmente analítico.
¿Existen soluciones analíticas exactas para los estados electrónicos del ion molecular de hidrógeno H+2H2+\mathrm H_2^+?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v