¿Existe una relación entre la energía de un fotón y la energía de una onda electromagnética?

Question

¿Existe una relación entre la energía de un fotón y la energía de una onda electromagnética?

JD'Alembert

Si la energía de un fotón

$E_{p}=hv$

Y la energía de una onda electromagnética es

$E_{w}\propto \hat{\mathbf B}^2$

¿Cuál es la relación entre $E_{w}$ y $E_{p}$ ?

Respuestas (2)

¿Existe una relación entre la energía de un fotón y la energía de una onda electromagnética?

andres macaddams · Answer 1

Solo tienes que reescribir $\mathbf B$ y $\mathbf E$ en términos de campo $A_{\mu}$ (aquí $\hbar = c = 1$ ),

\begin{matrix} (1) & \hat{B} = [\nabla \times \hat{A}], \hat{mi} = - \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} - \nabla {\hat{A}}_{0}, \end{matrix}

$\tag 1 \hat{\mathbf B} = [\nabla \times \hat{\mathbf A}], \quad \hat{\mathbf E} = -\frac{\partial \hat{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \hat{A}_{0},$ que se escribe como "suma" infinita de fotones:

\begin{matrix} (2) & A_{m} = \sum_{λ} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{(2 π)^{3} 2 {mi}_{pag}}} {mi}_{m}^{λ} (pag) ({\hat{a}}_{λ} (pag) {mi}^{- i pag X} + {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {mi}^{i pag X}) . \end{matrix}

$\tag 2 A_{\mu} = \sum_{\lambda} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}}e_{\mu}^{\lambda}(\mathbf p )\left( \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p )e^{-ipx} + \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p ) e^{ipx}\right).$ Después de eso, puede obtener fácilmente la relación entre las energías de los conjuntos de fotones y el campo EM "real":

\begin{matrix} (3) & \hat{H} = \int {\hat{T}}_{00} d^{3} r = \int \frac{1}{2} ({\hat{B}}^{2} + {\hat{mi}}^{2}) d^{3} r . \end{matrix}

$\tag 3 \hat{H} = \int \hat{T}_{00}d^{3}\mathbf r = \int \frac{1}{2}\left( \hat{\mathbf B}^{2} + \hat{\mathbf E}^{2}\right)d^{3}\mathbf r.$

Si lo necesitas te lo obtengo.

Derivación tediosa

Para simplificar, necesita un calibre de Coulomb $A_{0} = 0, (\nabla \cdot \mathbf A) = 0$ (equivalente $(3)$ ya implica eso), regla de suma de polarización y relaciones de ortogonalidad para vectores de polarización,

\sum_{λ} {mi}_{i}^{λ} (pag) {mi}_{j}^{λ} (pag) = d_{i j}, ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (pag)) = d_{λ λ^{'}} .

$\sum_{\lambda}e_{i}^{\lambda}(\mathbf p)e_{j}^{\lambda}(\mathbf p) = \delta_{ij}, \quad (\mathbf e_{\lambda}(\mathbf p) \cdot \mathbf e_{\lambda'}(\mathbf p)) = \delta_{\lambda\lambda'}.$ y relaciones de conmutación

[{\hat{a}}_{λ} (pag), {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (k)] = d_{λ λ^{'}} d (pag - k), [{\hat{a}}_{λ} (pag), {\hat{a}}_{λ^{'}} (k)] = 0.

$[\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p), \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf k)] = \delta_{\lambda \lambda {'}}\delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat{a}_{\lambda{'}}(\mathbf k)] = 0.$ Primero calculemos

(1)

$(1)$ mediante el uso

(2)

$(2)$ (

E_{p} = p_{0}

$E_{\mathbf p} = p_{0}$ ):

\hat{mi} (X) = - \partial_{0} \hat{A} (X) = i \sum_{λ} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{2 (2 π)^{3}}} {mi}_{λ} (pag) {\sqrt{mi}}_{pag} ({\hat{a}}_{λ} (pag) {mi}^{- i pag X} - {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {mi}^{i pag X}),

$\hat{\mathbf E}(x) = -\partial_{0}\hat{\mathbf A}(x) = i\sum_{\lambda}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2 (2 \pi )^{3}}}\mathbf e_{\lambda}(\mathbf p) \sqrt{E}_{\mathbf p}\left( \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p )e^{-ipx} - \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p )e^{ipx}\right),$

\hat{B} (X) = [\nabla \times \hat{A}] = i \sum_{λ} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{(2 π)^{3} 2 {mi}_{pag}}} [pag \times {mi}_{λ} (pag)] ({\hat{a}}_{λ} (pag) {mi}^{- i pag X} - {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {mi}^{i pag X}) .

$\hat{\mathbf B}(x) = [\nabla \times \hat{\mathbf A}] = i\sum_{\lambda}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}}[\mathbf p \times \mathbf e_{\lambda}(\mathbf p)]\left( \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p )e^{-ipx} - \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p )e^{ipx}\right).$ Entonces

\int d^{3} r {\hat{mi}}^{2} = - \sum_{λ, λ^{'}} \int \frac{d^{3} r d^{3} pag d^{3} k}{(2 π)^{3} 2} \sqrt{{mi}_{pag} {mi}_{k}} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (k)) \times

$\int d^{3}\mathbf r \hat{\mathbf E}^{2} = -\sum_{\lambda , \lambda '}\int \frac{d^{3}\mathbf r d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{(2 \pi )^{3}2}\sqrt{E_{\mathbf p}E_{\mathbf k}}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(\mathbf k )) \times$

\times ({\hat{a}}_{λ} (pag) {mi}^{- i pag X} - {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {mi}^{i pag X}) ({\hat{a}}_{λ^{'}} (k) {mi}^{- i k X} - {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (k) {mi}^{i k X}) = | \frac{1}{(2 π)^{3}} \int d^{i norte X} d^{3} r = d (norte) {mi}^{i {norte}_{0} X_{0}} | =

$\times \left( \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p )e^{-ipx} - \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p )e^{ipx}\right) \left( \hat{a}_{\lambda {'}}(\mathbf k )e^{-ikx} - \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf k )e^{ikx}\right) = \left| \frac{1}{(2\pi )^{3}}\int d^{inx}d^{3}\mathbf r = \delta (\mathbf n) e^{in_{0}x_{0}}\right| =$

= - \sum_{λ, λ^{'}} \frac{1}{2} \int d^{3} pag d^{3} k \sqrt{{mi}_{pag} {mi}_{k}} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (k)) \times

$= -\sum_{\lambda , \lambda {'}}\frac{1}{2}\int d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k \sqrt{E_{\mathbf p}E_{\mathbf k}}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(\mathbf k )) \times$

\times d (pag + k) ({mi}^{i X_{0} (k_{0} + {pag}_{0})} {\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (k) + {mi}^{- i X_{0} (k_{0} + {pag}_{0})} {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (k)) +

$\times \delta (\mathbf p + \mathbf k)\left( e^{ix_{0}(k_{0} + p_{0})}\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(\mathbf k) + e^{-ix_{0}(k_{0} + p_{0})}\hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf k) \right) +$

+ \sum_{λ, λ^{'}} \frac{1}{2} \int d^{3} pag d^{3} k \sqrt{{mi}_{pag} {mi}_{k}} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (k)) \times

$+\sum_{\lambda , \lambda {'}}\frac{1}{2}\int d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k \sqrt{E_{\mathbf p}E_{\mathbf k}}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(\mathbf k )) \times$

\times d (pag - k) ({mi}^{i X_{0} (k_{0} - {pag}_{0})} {\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (k) + {mi}^{- i X_{0} (k_{0} - {pag}_{0})} {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (k)) =

$\times \delta (\mathbf p - \mathbf k) \left( e^{ix_{0}(k_{0} - p_{0})}\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf k) + e^{-ix_{0}(k_{0} - p_{0})}\hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(\mathbf k)\right) =$

= - \frac{1}{2} \sum_{λ, λ^{'}} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (- pag)) ({mi}^{2 i {pag}_{0} X_{0}} {\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (- pag) + {mi}^{- 2 i X_{0} {pag}_{0}} {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (- pag)) +

$= -\frac{1}{2}\sum_{\lambda , \lambda {'}}\int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(-\mathbf p )) \left( e^{2ip_{0}x_{0}}\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(-\mathbf p) + e^{-2ix_{0}p_{0}}\hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(-\mathbf p) \right) +$

\begin{matrix} (4) & + \frac{1}{2} \sum_{λ, λ^{'}} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (pag)) ({\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (pag) + {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (pag)) . \end{matrix}

$\tag 4 + \frac{1}{2}\sum_{\lambda , \lambda {'}}\int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(\mathbf p )) \left( \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf p) + \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(\mathbf p) \right).$ Lo mismo con

\int d^{3} r {\hat{B}}^{2}

$\int d^{3}\mathbf r\hat{\mathbf B}^{2}$ mediante el uso de la relación

([pag \times {mi}_{λ} (pag)] \cdot [k \times {mi}_{λ^{'}} (k)]) = (pag \cdot k) ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (k)) - (pag \cdot {mi}_{λ} (pag)) (k \cdot {mi}_{λ^{'}} (k)) =

$([\mathbf p \times \mathbf e_{\lambda}(\mathbf p)] \cdot [\mathbf k \times \mathbf e_{\lambda {'}}(\mathbf k)]) = (\mathbf p \cdot \mathbf k)(\mathbf e_{\lambda}(\mathbf p) \cdot \mathbf e_{\lambda {'}}(\mathbf k)) - (\mathbf p \cdot \mathbf e_{\lambda}(\mathbf p)) (\mathbf k \cdot \mathbf e_{\lambda {'}}(\mathbf k)) =$

= (pag \cdot k) ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (k))

$= (\mathbf p \cdot \mathbf k)(\mathbf e_{\lambda}(\mathbf p) \cdot \mathbf e_{\lambda {'}}(\mathbf k))$ puede dar

\int d^{3} r {\hat{B}}^{2} =

$\int d^{3}\mathbf r \hat{\mathbf B}^{2} =$

= \frac{1}{2} \sum_{λ, λ^{'}} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (- pag)) ({mi}^{2 i {pag}_{0} X_{0}} {\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (- pag) + {mi}^{- 2 i X_{0} {pag}_{0}} {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (- pag))

$= \frac{1}{2}\sum_{\lambda , \lambda {'}}\int d^{3}\mathbf p E_{p}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(-\mathbf p )) \left( e^{2ip_{0}x_{0}}\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(-\mathbf p) + e^{-2ix_{0}p_{0}}\hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(-\mathbf p) \right)$

\begin{matrix} (5) & + \frac{1}{2} \sum_{λ, λ^{'}} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (pag)) ({\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (pag) + {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (pag)) . \end{matrix}

$\tag 5 + \frac{1}{2}\sum_{\lambda , \lambda {'}}\int d^{3}\mathbf p E_{p}(\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(\mathbf p )) \left( \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf p) + \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(\mathbf p) \right).$ Entonces, después de la suma de

(4), (5)

$(4), (5)$ obtendrás eso

\hat{H} = \frac{1}{2} \sum_{λ, λ^{'}} \int d^{3} pag ({mi}_{λ} (pag) \cdot {mi}_{λ^{'}} (pag)) {mi}_{pag} ({\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}}^{†} (pag) + {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ^{'}} (pag)) =

$\hat{H} = \frac{1}{2}\sum_{\lambda , \lambda {'}}\int d^{3}\mathbf p (\mathbf {e}_{\lambda }(\mathbf p ) \cdot \mathbf {e}_{\lambda {'}}(\mathbf p )) E_{\mathbf p} \left(\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda {'}}(\mathbf p) + \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda {'}}(\mathbf p) \right) =$

\begin{matrix} (6) & \frac{1}{2} \sum_{λ} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) + {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag)) = \sum_{λ} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag) + d (0)) . \end{matrix}

$\tag 6 \frac{1}{2}\sum_{\lambda}\int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}\left(\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) + \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) \hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) \right) = \sum_{\lambda}\int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}\left( \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) + \delta (0)\right).$ ecuación 6 implica "representación" de la energía del campo EM como suma de energías de fotones (

E_{p} = ω_{p}

$E_{\mathbf p} = \omega_{\mathbf p}$ ), porque

\int d^{3} p {\hat{a}}_{λ}^{†} (p) {\hat{a}}_{λ} (p)

$\int d^{3}\mathbf p \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p)$ se refiere al operador de número de partículas.

¡Esto podría ser más útil para explicar algunos de los términos aquí y tal vez incluso calcularlo!
Sí, ¿podría explicar algunos de los términos y, lo que es más importante, afirma que $mi = \int T_{00} d^{3} r = \int \frac{1}{8 π} ({\hat{B}}^{2} + {\hat{mi}}^{2}) d^{3} r .$ $E = \int T_{00}d^{3}\mathbf r = \int \frac{1}{8 \pi}\left( \hat{\mathbf B}^{2} + \hat{\mathbf E}^{2}\right)d^{3}\mathbf r.$ pero que hace $E$ ¿denotar? Estoy buscando $E_{p}=f(E_{w})$
@JD'Alembert: $E$ aquí significa la energía completa del campo EM que se da a partir del formalismo lagrangiano. Aquí $T_{00}$ es equivalente a la densidad hamiltoniana. $\hat{\mathbf E}, \hat{\mathbf B}$ son respectivamente la intensidad del campo eléctrico y la inducción del campo magnético.
@AndrewMcAddams Ok, entonces la pregunta es ahora, ¿cómo relaciona uno la energía de los conjuntos de fotones con $E$ ?
@JD'Alembert: Escribiré algunos cálculos y pensaré en un momento en la respuesta.
Creo que un problema que seguramente encontrará es: ¿cómo elige los límites de integración? O más bien, dado que conoce la expresión de la densidad de energía y la está integrando, ¿qué tan grande es la extensión espacial de un fotón? Esta pregunta es imposible de responder en mi opinión: esta es una comparación entre dos imágenes diferentes, por lo que no estoy seguro de si funcionará bien.
@New_new_newbie: los campos clásicos como los cuánticos están localizados en el infinito.
@JD'Alembert: $\int d^{3}\mathbf r = \int dV$ aquí denota integración sobre lozalización de campo. Dado que discutimos el caso libre (campo EM en el vacío), la localización del campo es infinita.
@JD'Alembert: me temo que en esta matemática engorrosa y desinteresada es posible hundirse, pero he terminado de derivar la relación.
¡Bravo! Buena respuesta, mucho más específica de lo que hubiera esperado. +1
@AndrewMcAddams Lamento que haya tardado tanto en aceptar que se desconectó mi Internet y gracias por todo el trabajo que puso en su respuesta.
@AndrewMcAddams ¿Podría explicar la notación utilizada en $\sum_{λ} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag) + d (0))$ $\sum_{\lambda}\int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}\left( \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) + \delta (0)\right)$ ?
@JD'Alembert: aquí $\lambda$ significa polarización (el fotón tiene 2 polarizaciones independientes), $E_{\mathbf p} = \omega_{\mathbf p}$ denota energía de fotón con impulso $\mathbf p$ , $\delta (0)$ surge porque he hecho intercarga ${\hat{a}}_{λ} (pag) {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) = d (pag - pag) + {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag) .$ $\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p) = \delta (\mathbf p - \mathbf p) + \hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p).$ Por lo general, ignoramos este sumando porque se interpreta como energía de vacío y podemos cambiar el nivel de energía por esta constante.
@ JD'Alembert relacionado con este último comentario de Andrew: pedido normal
@AndrewMcAddams si $\delta (0)$ es la función delta de dirac, ¿no significaría que la solución es infinita a medida que se acerca al infinito?
@ JD'Alembert: en pocas palabras, sigue una explicación. QFT está (en cierto sentido) enfermo, porque tiene singularidades, que están ocultas en los conmutadores. Al mismo tiempo significa que podemos modificar sus objetos primarios (lagrangianos, por ejemplo) de alguna manera con un solo requisito: estos cambios deben corresponder a la física, porque este infinito es la consecuencia de la descripción matemática. Vemos ese infinito en expresión $(6)$ es causado solamente por los conmutadores. Así que podemos desechar esta constante.
@AndrewMcAddams ¿Una disminución en la energía de la onda electromagnética significa una disminución en la energía del fotón o la cantidad de fotones?
@ JD'Alembert: parece que sí, porque la energía es una cantidad definida positiva.
@AndrewMcAddams Últimas preguntas, ¿es posible reorganizar la ecuación (6) para $E_{\mathbf p}$ y si es asi como?
¿Podrías resolver $\hat{H} = \sum_{λ} \int d^{3} pag {mi}_{pag} ({\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag) + d (0))$ $\hat{H}=\sum_{\lambda}\int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}\left( \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p) + \delta (0)\right)$ para $E_{\mathbf p}$ (ignorando la constante)?
@ JD'Alembert: en cierto sentido, puedes resolver esta ecuación para $E_{\mathbf p}$ actuando de $\hat{H}$ en algún estado de una partícula $| \mathbf p , \lambda\rangle$ : entonces $\hat{H} | pag, λ ⟩ = {mi}_{pag} | pag, λ ⟩ .$ $\hat{H}| \mathbf p , \lambda\rangle = E_{p} | \mathbf p , \lambda \rangle .$
@AndrewMcAddams ¿se puede simplificar esto? $\sum_{λ} {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag)$ $\sum_{\lambda} \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p)$
@ JD'Alembert: discúlpeme por los largos períodos entre las respuestas. puedes reescribir $\hat{a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p)$ a través de los campos $\hat{\mathbf A}$ y luego para obtener una expresión similar a $(3)$ . Pero los operadores de creación/destrucción son, en cierto sentido, las cantidades más elementales.
@AndrewMcAddams He leído en línea lo que hacen, pero ¿podría explicar su propósito?
@AndrewMcAddams No hay problema, pero cuando lo haga, también puede explicar qué $\sum_{λ} {\hat{a}}_{λ}^{†} (pag) {\hat{a}}_{λ} (pag)$ $\sum_{\lambda} \hat{a}_{\lambda}^{\dagger}(\mathbf p)\hat{a}_{\lambda}(\mathbf p)$ ¿Significaría?
@AndrewMcAddams Ok, yo también, para futuras referencias, sigamos haciéndolo

ana v · Answer 2

ana v

Un experimentador responde:

Si divide la energía de la onda electromagnética por hv, tendrá la cantidad de fotones que se acumulan en la onda electromagnética.

monovolumen

¿No es una onda electromagnética macroscópica algo más parecido a un estado coherente que a un estado de Fock? Un estado coherente tiene una cantidad incierta de fotones. ¿Qué representa realmente el número (Ew / hv)?

ana v

@mpv conservación de la energía?

harry johnston

@mpv: el valor esperado para la cantidad de fotones, creo.

ana v

@HarryJohnston del análisis de Andrew, creo que sería la expectativa del número promedio de fotones. Pero la conservación de la energía es una relación exacta, así que espero que sea el número de fotones de la energía transportada por la onda. Cualquier incertidumbre vendrá de la medida clásica de energía, imo, no de h*nu.

harry johnston

Creo que lo que sucede es que si mides el número de fotones, eso hace que la frecuencia de los fotones sea incierta, de la misma manera que medir la posición de una partícula cuántica hace que su momento sea incierto. Entonces, si realiza esta medición, la respuesta podría ser que hay menos fotones de los que esperaba, pero dado que la distribución de frecuencia ha cambiado, todavía tiene la misma energía total.

ana v

@HarryJohnston, la incertidumbre de Heisenberg funciona para fotones individuales, y la energía promedio para fotones individuales tendrá una pequeña dispersión con respecto a los valores macroscópicos. El fotón promedio aún debe tener nu distintivo, de lo contrario, el fotón único de dos rendijas no mostraría interferencia. Así que dentro de esta incertidumbre va la cuenta.

harry johnston

No creo que esa imagen sea más precisa cuando se trata de QFT en lugar de QM simple. En QFT, el recuento de fotones está cuantificado y IIRC no conmuta con mediciones de la intensidad del campo electromagnético; como consecuencia, la "energía de los fotones individuales" no es realmente un concepto bien definido si el sistema está en un estado coherente. El hecho de que los fotones no interactúen generalmente hace que esté bien ignorar estas cosas desde una perspectiva experimental, por ejemplo, los láseres y los fotones individuales producen patrones de interferencia similares. Pero ha pasado mucho tiempo desde que estudié estas cosas.

¿Existe una relación entre la energía de un fotón y la energía de una onda electromagnética?

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