¿Existe una conexión entre la distribución de energía y la dilatación del tiempo?

Si los astronautas con clok B en el escenario 1 y 2 siempre pasan 22 años, usan la misma energía y alcanzan la misma velocidad máxima... Pero la distancia de viaje será diferente. ¿Tendrá impacto en la dilatación del tiempo?

Sí. El tiempo propio experimentado por el reloj está dado por$\int ds$, dónde$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$(en unidades con$c=1$). El tiempo adecuado depende de la forma detallada de la línea de mundo del reloj, no solo de algún parámetro como la energía máxima.

En realidad, aunque al principio no me resultó obvio, creo que tu intuición es correcta. En este caso especial de aceleración constante seguida de frenado constante, si mantiene la energía cinética máxima y el tiempo propio total iguales en ambos escenarios, el tiempo total transcurrido en la Tierra también será el mismo.

Para ver esto, tenga en cuenta que la situación en la que el astronauta siempre siente la misma aceleración$a$se conoce como el caso de aceleración propia constante. Si busca este término, puede encontrar una derivación de las fórmulas cinemáticas involucradas, pero aquí simplemente las enunciaré para centrarme en el argumento en cuestión.

El tiempo$t$observado por la persona en la Tierra está relacionado con el tiempo adecuado$\tau$sentido por el astronauta como,

$$t=\frac{1}{a}sinh(a\tau).$$ Y la energía cinética es, $$KE=m\left( cosh(a\tau)-1\right).$$

Aquí estoy usando unidades donde$c=1$por conveniencia.

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Ahora bien, si la masa$m$y máximo$KE$es constante, de la segunda ecuación, la combinación

$$a\tau = cosh^{-1}\left(\frac{KE}{m}+1\right)$$ es constante también. Como nota al margen, esta constante es lo mismo que la rapidez, si está familiarizado con eso.

Esto significa que la combinación$a t= sinh(a\tau)$es constante también. Entonces la proporción

$$\frac{t}{\tau}=\frac{at}{a\tau}$$ es una constante que solo depende de la velocidad máxima (o la energía cinética máxima si la masa es constante).

Así, aunque el tiempo total del viaje se divide en cuatro porciones con diferentes aceleraciones constantes, la relación de cada porción con su tiempo propio es la misma. Así que no importa cuándo decidas cambiar de frenado a aceleración, el tiempo total de la Tierra será simplemente esta proporción constante multiplicada por el tiempo total adecuado. Entonces su intuición de que el tiempo de la Tierra no dependerá del escenario es correcta en este caso tan especial.

Si tiene una ruta de vuelo más complicada con una aceleración no constante, este factor que relaciona el tiempo adecuado con el tiempo de la Tierra ya no será constante, por lo que la respuesta de Ben Crowell es correcta en general.