¿Existe un modelo físico descrito por esta ecuación? (ecuación de onda amortiguada vectorial)

Considere la ecuación de onda$\partial_t^2 u\left(t,x\right) - \Delta u\left(t,x\right) = 0$dónde$t\in\mathbb{R}$es la variable tiempo y$x\in\Omega$(un bonito subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$) es la variable de espacio. Si$\partial \Omega$el límite de$\Omega$no está vacío ( es decir, si$\Omega \notin \mathbb{R}$) sumamos la condición de frontera$u_{|\partial\Omega}=0$. Cuando$u$tiene un valor real (o complejo) esta es la ecuación de onda estándar de un tambor o una cuerda vibrante.

Si arreglo una función suave$a: \Omega \to \mathbb{R}_+$entonces la ecuacion

$$\begin{array}{ccc} \partial_t^2 u\left(t,x\right) - \Delta u\left(t,x\right) +a\left(x\right)\partial_t u\left(t,x\right) & = & 0 \\ % {\left. u \right|}_{\partial \Omega} & = &0 \end{array}$$ se llama ecuación de onda amortiguada. De hecho, si definimos la energía de una solución $u$como energía cinética más energía potencial $\left( E(u,t)=\frac{1}{2}\int_\Omega \left|\partial_t u \left(t,x \right) \right|^2 + \left|\nabla u(t,x) \right|^2 \mathrm{d}x \right)$una integración por partes muestra que la variación de energía viene dada por la fórmula $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E\left(u,t\right)~=~-\int_{\Omega}\left< a\left(x\right)\partial_t u\left(t,x\right),~ \partial_tu(t,x) \right> \mathrm{d}x$$ y así el término $a$juegan el papel de un mecanismo amortiguador.

Ahora la ecuación que me interesa es la versión vectorial de la ecuación de onda amortiguada. si tomo$u\left(t,x\right)=\left(u_1\left(t,x\right),\ldots,u_n\left(t,x\right)\right)$ser de valor vectorial y$a=(a_{i,j})$una función matricial mi ecuación se convierte en el siguiente sistema de ecuaciones

$$\partial_t^2 u_i(t,x)-\Delta u_i(t,x)+\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}(x)\partial_t u_j(t,x)=0,\;\; i=1,\ldots, n$$ o de manera equivalente, utilizando el producto matriz y aplicando $\partial_t$y $\Delta$componente por componente $$\partial_t^2 u\left(t,x\right) - \Delta u\left(t,x\right) +a\left(x\right)\partial_t u\left(t,x\right) ~=~ 0 \,.$$

Si añadimos la condición de que$a(x)$debe ser hermitiano positivo para cada$x$luego, usando la fórmula para la variación de la energía, vemos que la energía sigue disminuyendo.

MI PREGUNTA : ¿Existe un modelo físico descrito por esta ecuación? Sé que la ecuación de onda y la ecuación de onda escalar amortiguada pueden describir las vibraciones de una cuerda o un tambor. También sé que las ondas sísmicas sí vibran en varias dimensiones pero están modeladas por otra ecuación, lo mismo ocurre con las ondas electromagnéticas que están modeladas por las ecuaciones de Maxwell. Entonces, ¿mi modelo de ecuación es algo real?

Mi ecuación proviene de una generalización puramente matemática de la ecuación de onda amortiguada escalar, pero me preguntaba si correspondía a algo existente en la física.