¿Es (teóricamente) correcto aplicar una ecuación que se deriva de una trayectoria hiperbólica a una órbita de transferencia elíptica?

En el ejemplo vinculado, la órbita de transferencia es elíptica alrededor del Sol , pero para llegar allí debes escapar hiperbólicamente de la Tierra. Esta es una aproximación cónica parcheada , donde las múltiples secciones/órbitas cónicas (sobre diferentes cuerpos gravitacionalmente significativos) están 'parchadas' juntas en sus intersecciones.

También tenga en cuenta que para el ejemplo vinculado, la ecuación no " calcula la velocidad necesaria en el borde del SOI de la Tierra ", esto se hizo antes. La " velocidad necesaria en el borde de la SOI de la Tierra " es una entrada a la ecuación. La salida es la velocidad a una altura de órbita terrestre baja.

La ecuación es válida para todas las secciones cónicas; sin embargo, con una convención de signos negativos, muy similar a cómo el semieje mayor de una órbita hiperbólica es negativo (pero opuesto). De Wikipedia (énfasis añadido):

El semieje mayor ($a$) no es inmediatamente visible con una trayectoria hiperbólica, pero se puede construir como la distancia desde el periápside hasta el punto donde se cruzan las dos asíntotas. Usualmente, por convención, es negativo, para mantener varias ecuaciones consistentes con órbitas elípticas.

El semieje mayor está directamente relacionado con la energía orbital específica ($\epsilon$) o energía característica$C_{3}$de la órbita, y a la velocidad que alcanza el cuerpo cuando la distancia tiende a infinito, el exceso de velocidad hiperbólico ($v_{\infty }$).

$v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a$,$v_{\infty }^{2}=2\epsilon > =C_{3}=-\mu /a$, o$a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}$,$a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}$

También tenga en cuenta que hay algunas travesuras con la convención de signo negativo para hacer que la(s) ecuación(es) se mantenga(n), principalmente que elevar al cuadrado/raíz cuadrada un valor no afecta su signo (es decir,$\sqrt{-x} \to -\sqrt{x}$).

Para una órbita terrestre baja circular de 250 km, la$v_{\infty}^2$sería:

Negativo, como se esperaba para una órbita elíptica (el círculo es un caso especial de una elipse).

Las velocidades se utilizan para expresar las energías cinéticas.

Si la conservación de la energía es válida, la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria es constante.

Las trayectorias parabólica, circular, elíptica e hiperbólica son casos especiales de las transiciones entre estas dos formas de energía.

Ver wikipedia sobre velocidad orbital , velocidad de escape y presupuesto delta v

La primera velocidad cósmica es la velocidad mínima requerida para una órbita circular con altura cero. La segunda velocidad cósmica es la velocidad de escape.

Si la velocidad es menor que la primera velocidad cósmica, el cohete regresa a la superficie en una trayectoria parabólica.

Si la velocidad es mayor que la primera velocidad cósmica y menor que la segunda, la órbita es circular o elíptica.

Si la velocidad es mayor que la segunda velocidad cósmica, la sonda sale en una trayectoria hiperbólica.