¿Cuál es el tiempo característico para alcanzar un exceso de velocidad hiperbólico dentro de una esfera de influencia?

tl; dr: Para un viaje de la Tierra a Marte, obtengo una velocidad 1% mayor que$v_{\infty}$en el punto alrededor del 70% del camino al SOI de la Tierra.

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La pregunta se trata de partir de un planeta y proceder a la transferencia interplanetaria, y dado que se invoca el término "esfera de influencia", presumiblemente se asume la aproximación de cónicas parcheadas, por lo que podemos pensar en la Tierra como la única fuente de gravedad, y trabajar en el resto marco de la Tierra.

La ecuación vis-viva da todo lo que necesitamos.

$$v^2=GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).$$

Si partimos de una órbita circular en LEO de radio$a_0$, la velocidad es

$$v_{LEO}=\sqrt{\frac{GM_E}{a_0}.}$$

Después de una propulsión$\Delta v$la velocidad es

$$v_0 = v_{LEO} + \Delta v.$$

Reorganice el vis-viva para resolver el nuevo semieje mayor de la hipérbola:

$$a_{hyp}=1/\left(\frac{2}{a_0}-\frac{v_0^2}{GM_E}\right).$$

Para una órbita hiperbólica, el semieje mayor es negativo.

Ahora puedes obtener la velocidad (velocidad realmente) a cualquier distancia r:

$$v^2=GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a_{hyp}}\right),$$

$$v(r)=\sqrt{GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a_{hyp}}\right)},$$

y tomando el límite de$r \rightarrow \infty$obtenemos$v_{\infty}$

$$v_{\infty}= \sqrt{\frac{GM_E}{-a_{hyp}}}.$$

Por cierto, si desea calcular la energía cinética y potencial de una nave espacial con masa$m$a cualquier distancia$r$solo puedes usar:

$$T(r)=\frac{1}{2}mv^2(r),$$

$$U(r)=\frac{-GM_E m}{r},$$

y la suma de los dos debe permanecer constante. ¡Esa es en realidad el alma de la ecuación vis-viva!

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Bien, ahora pongamos algunos números;

$GM_E$= 3.986E+14 m^3/s^2

$GM_S$= 1.327E+20m^3/s^2

$a_0$= 6.378.000 + 250.000 metros

$\Delta v$= 5,7000 m/s

$AU$= 1.5E+11 metros

$R_{SOI} = AU\left(\frac{GM_E}{GM_S} \right)^{2/5}$~ 9.27E+08 metros

yo obtengo$v_{\infty}$de unos 7.795 m/s, y una velocidad un 1% superior a la de una distancia de 655.000 km de la Tierra, o alrededor del 70% del camino hasta el borde de la esfera.

Cero.

El exceso de velocidad real se alcanza justo al salir de la esfera de influencia del planeta. Desde entonces, la velocidad comienza a cambiar (en una dirección arbitraria) principalmente de acuerdo con la influencia del cuerpo en cuya esfera de influencia entró la nave.

Por supuesto, eso es una simplificación: de hecho, ambos (así como todos los demás) cuerpos influyen en la velocidad en todo momento, es solo que la influencia más fuerte proviene del cuerpo en cuyo SOI se encuentra, pero para el propósito de esta explicación, supongamos Cónicas parcheadas en lugar del modelo de cuerpo N; la diferencia es discutible para este propósito.

Dado que siempre está en algún SOI, no tiene sentido pensar en un "exceso de velocidad real" en relación con un SOI después de viajar a través de otro SOI. Tiene el exceso de velocidad (uno, real, verdadero) al llegar al borde, luego solo tiene la velocidad en el otro SOI, y puede diferir mucho, y aún puede obtener la velocidad relativa al primer cuerpo si Me inclino a hacerlo, pero no será ningún "verdadero" especial, simplemente será uno diferente.

Digamos que escapas de Moon SOI en la trayectoria de Retorno Libre. ¿Cuál será el "verdadero exceso de velocidad" si estás en una trayectoria de reingreso a la Tierra? ¿A qué velocidad se supone que debemos calcular el error relativo?

E incluso si va al espacio profundo, expulsado del Sistema Solar hacia Proxima Centauri, permanecerá en el SOI del Sol hasta aproximadamente la mitad, cuando ingresará al SOI de Proxima, y ​​en ese punto dejará de perder velocidad como comenzarás a ser atraído hacia Proxima.