¿Es posible que el sistema de ecuaciones de un circuito eléctrico no tenga solución única?

Al usar las leyes de circuito de Kirchhoff y la ley de Ohm para modelar el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a un circuito eléctrico (hasta ahora, circuitos que involucran resistencias y fuentes solamente), no he podido encontrar ningún circuito que produzca un sistema inconsistente ni un sistema con infinitas soluciones.

Por lo tanto, me preguntaba si era posible que el sistema de ecuaciones resultante no tuviera una solución única y, de ser así, ¿cuál sería la interpretación física de tal resultado?

Además, en caso de que no sea posible, ¿cuál sería el resultado científico que avala ese hecho? En aras de la claridad, adjunto un ejemplo del tipo de circuitos con los que he estado trabajando y su correspondiente sistema de ecuaciones.

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¿Permite resistencias negativas (entonces pueden existir múltiples soluciones)? ¿Qué pasa con el caso de cortocircuitar una fuente de voltaje? ¿O abrir una ruta de origen actual? ¿Qué pasa con los componentes no lineales y la oscilación? ¿Qué estás incluyendo y excluyendo en tu pregunta? Claramente, si tiene el mismo número de variables que ecuaciones y las ecuaciones son independientes y consistentes y existe un determinante, entonces la solución será única. Pero eso es solo una evasión matemática. Así que mire aquí en la Sección 9.4+ para uno de los muchos enfoques.
Además, pude encontrar esto usando algunas palabras clave de búsqueda y se parece más a lo que imagino que estás buscando.
Incluya dispositivos activos como transistores y la respuesta es sí. Un flip-flop, por ejemplo, tiene dos soluciones estables y algunas inestables. Estás leyendo este comentario sobre dicho sistema. ¿Solo fuentes y resistencias? No.
Infinidad de soluciones: tener en una red 2 ramales de cero ohmios en paralelo entre sí. Entonces cualquier relación entre sus corrientes puede cumplir las leyes siempre que la suma de sus corrientes sea correcta. También puede tener una red que en realidad son 2 redes totalmente separadas sin ningún nodo común. Entonces puede haber cualquier voltaje entre las partes. Si busca la teoría general de redes eléctricas, encontrará cómo las redes, incluida la topología, pueden presentarse como matrices. Eso devuelve el problema a la existencia y unicidad de una ecuación matricial lineal.
(continuación) si permite fuentes de voltaje o corriente dependientes, puede encontrar fácilmente circuitos que no pueden tener ninguna solución. Considere una fuente que tiene Uout=Uin+1V. Connect es Uout directamente a su Uin. Entonces Uout=Uout+1V.

Respuestas (2)

Siempre que considere redes que contengan solo resistencias lineales de valor positivo, fuentes de voltaje ideales y fuentes de corriente ideales (y no coloque dos fuentes de corriente en serie o dos fuentes de voltaje en paralelo), siempre habrá una solución única.

No tengo una prueba de esto a mano, pero está bastante claro que si sigue el método de análisis nodal (modificado) obtendrá una ecuación para cada nodo (aparte del nodo de tierra) que no está conectado a una fuente de tensión y una ecuación KVL para cada supernodo, además de una ecuación de supernodo. Y que estas ecuaciones serán linealmente independientes porque cada nodo se conecta a un conjunto diferente de ramas. (Un argumento complementario que muestra un resultado similar para el análisis de malla)

Para una demostración completa, véase, por ejemplo, Chua, Desoer y Kuh, 1987 .

Si considera resistencias no lineales, es posible tener un circuito con múltiples soluciones. Una forma en que esto sucede es si el circuito tiene histéresis , por lo que la solución física correcta depende del historial de cómo se aplicaron los voltajes de la fuente para llegar a la situación que se analiza.

¿Dejaste capacitores e inductores intencionalmente?
@relayman357, si hablamos de circuitos de CC, los capacitores y los inductores son solo circuitos y cables abiertos.
¿Por qué limitar el circuito a CC de estado estable? No es necesario ya que la excitación transitoria de CC, la excitación de CA, etc. de los circuitos R, L, C siguen dando como resultado soluciones únicas para las condiciones específicas.
@relayman357, de todos modos, no creo que sea cierto si comenzamos a hablar de circuitos de CA con elementos L y C. Supongamos que tengo una fuente de corriente alterna. A través de él, conecto un circuito en serie LC en resonancia (por lo que la impedancia neta es 0). Y luego, en paralelo con eso, conecto un segundo circuito LC en resonancia. Ahora no hay una solución única para la corriente a través de cualquiera de los tanques.
Estoy de acuerdo, matemáticamente. Pero esos no son circuitos reales. Un cortocircuito entre los terminales si una fuente de voltaje ideal produjera una corriente infinita (y se violara el KVL), pero eso es imposible en el mundo real. Cualquier circuito del tanque tendrá cierta resistencia y no estará perfectamente en resonancia. Este es un tema interesante.
@relayman357, lo siento, edité mi comentario para especificar una fuente de corriente, no una fuente de voltaje. Pero en cualquier caso, esta es una pregunta teórica, por lo que deberíamos considerar esos circuitos que no son del mundo real.
Sí, de acuerdo. Además, miré hacia atrás hace un momento y OP se limitó a las resistencias de todos modos. Gracias.

Es importante recordar que las leyes de Kirchoff y el procedimiento para reemplazar componentes con versiones idealizadas son un modelo y un procedimiento para ayudar en la solución.

Como han mencionado otros, la histéresis y la oscilación son dos escenarios en los que los componentes adicionales, incluso en su forma idealizada, conducirán a modelos más complejos. La retroalimentación incontrolada es un comportamiento que resulta de soluciones que tienden al infinito. También puedes crear circuitos con soluciones infinitas como este oscilador fractal: https://arxiv.org/abs/1807.02675 . Incluso las soluciones inconsistentes/caóticas son posibles: http://www.chaotic-circuits.com/wp-content/uploads/2016/06/Simple-Two-Transistor-Single-Supply-RC-Chaotic-Oscillator.pdf

Pero incluso considerando los componentes simples que tiene aquí, puede considerar la aplicabilidad del modelo: es un modelo de estado estable: no dice nada sobre el inicio o el apagado del circuito, un modelo más complejo mostraría un comportamiento interesante en estas fases.

Entonces:

  1. Sí, es posible tener soluciones múltiples, soluciones que van al infinito y soluciones infinitas.
  2. Tiene significado físico en el comportamiento del circuito.
  3. los modelos simplificados están diseñados para la resolución y pueden ignorar casos extremos más complejos
¿Es posible que el sistema de ecuaciones de un circuito eléctrico no tenga solución única?
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