¿Es posible escribir la conservación de la energía relativista de esta forma tan ingenua?

Tu sentido de la precaución es correcto. La conservación de energía no funciona así, porque la energía no es una cantidad escalar invariante (en contraste con la carga eléctrica). Esto significa que la cantidad que escribiste como una 4-divergencia del flujo de energía no está usando un 4-vector. Pero podemos expresar la conservación de la energía yendo un paso más allá en la relatividad, utilizando el tensor de tensión-energía . Este es un tensor de segundo rango$\bf T$cuyos componentes expresan energía por unidad de volumen, cantidad de movimiento por unidad de volumen, flujo de energía, presión y tensión pura. Todos estos están involucrados en una consideración de la energía y el momento que pasan de un lugar a otro, o entre un sistema y otro. La conservación de la energía y la cantidad de movimiento se expresa

Usted menciona en su pregunta algo a lo que se refiere como "conservación de la masa", pero debe tener en cuenta que no existe una ley de conservación de la masa, a menos que se refiera a la conservación de la energía, pero entonces sería mejor llamarla energía.

No podemos simplemente insertar$\gamma$en la ecuación de continuidad, que en este caso es una formulación de conservación de la masa en reposo para una partícula libre:

Además, aunque la ecuación anterior tiene la misma forma en todos los marcos inerciales, esto por sí solo no implica que la 4-tupla$(\rho c, \rho\mathbf v)$es un cuatro vector. En este caso es un vector de 4, similar a la densidad de corriente eléctrica$j^\mu$. Pero hay otros casos en los que el mismo tipo de ecuación$\partial_\mu S^\mu = 0$es válido en todos los marcos, pero donde$S$no es un cuatro vector. Un ejemplo notable es la densidad de energía de Poynting y el 3 vector de densidad de momento en el espacio libre de materia.

Cosas similares sucederán con la energía de la materia; incluso si (y eso es un gran si) uno pudiera derivar una ecuación tan simple para esta energía, esto no implicaría que la energía 4-tuple es un 4-vector. De hecho, en la teoría EM basada en las ecuaciones de Maxwell, no hay forma de formular la conservación de la energía donde la densidad de energía de la materia o el campo EM es parte de un campo de 4 vectores; uno debe uno 4-tensores de 2do rango (que están representados por entradas 4x4).

En general, debe considerar el tensor de energía de estrés. Si solo desea conservación de energía (sin la parte de estrés y momento del tensor), puede tomar$\partial_\nu T^{0 \nu}=\frac{\partial}{\partial t} \omega + \nabla \vec{S}/c=0$, dónde$\omega$es la densidad de energía y$\vec{S}$la densidad del flujo de energía.