¿Es esta una prueba válida del principio de Arquímedes?

En Wikipedia, el principio de Arquímedes se establece así:

" La fuerza de flotación hacia arriba que se ejerce sobre un cuerpo sumergido en un fluido, ya sea total o parcialmente sumergido, es igual al peso del fluido que el cuerpo desplaza "

En una sección de nuestro libro de texto de Física, mostraron la prueba del principio de Arquímedes de esta manera:

Digamos que un cilindro está completamente sumergido en algún fluido. Digamos la altura si el cilindro está h y el área de la sección transversal del cilindro es A .Imaginemos que el cilindro está sumergido en el fluido de tal manera que la profundidad de la superficie superior es h 1 y la profundidad de la superficie inferior es h 2 .

Les dijimos muchas veces que la presión en fluido/Gas no actúa en una dirección particular. La presión actúa en todas las direcciones.

Entonces, la presión hacia abajo que actúa sobre la superficie superior del cilindro es,

PAG 1 = h 1 ρ gramo

Y, la presión hacia arriba que actúa sobre la superficie hacia abajo de los cilindros es,

PAG 2 = h 2 ρ gramo

Entonces, la fuerza hacia abajo que actúa sobre la superficie superior de los cilindros y la fuerza hacia arriba que actúa sobre la superficie hacia abajo de los cilindros es,

F 1 = A PAG 1 = A h 1 ρ gramo
F 2 = A PAG 2 = A h 2 ρ gramo

No tenemos que pensar en la fuerza que actúa alrededor del cilindro, porque si una fuerza actúa en un lado del cilindro, entonces otra fuerza opuesta cancela la fuerza original. Porque h 2 es mayor que h 1 , F 2 tiene que ser mayor que F 1 . Entonces, la fuerza neta apuntará hacia arriba y su magnitud será,

F = F 2 − F 1 = A ( h 2 − h 1 ) ρ gramo = A h ρ gramo

En este punto, la prueba está hecha.

Hay algunos lugares en los que sentí algunas dudas. Por ejemplo, primero dicen que la presión no tiene dirección. Pero luego comienzan a decir cosas como "presión hacia arriba y hacia abajo" en la prueba. Además, ¿por qué usan la ecuación? PAG = h ρ gramo para calcular la presión hacia arriba que el fluido ejerce sobre la superficie inferior del cilindro? ...etc.

En este punto tengo dos preguntas,

  1. ¿Es válida esta prueba?

  2. ¿Cómo puedo escribir una prueba con cualquier sólido general? (no solo cilindro)

Editar: por ahora, el significado de la palabra 'sumergido' será 'totalmente rodeado por un líquido'. Es cierto que hará que Fenómenos como 'barcos flotando' queden fuera del alcance, pero lo he hecho para reducir demasiada complejidad.

Respuestas (2)

  1. ¿Es válida esta prueba?

Sí, esta prueba para el cuerpo cilíndrico es válida.

Pero el autor debería decir mejor " fuerza de presión hacia arriba y hacia abajo ", en lugar de "presión hacia arriba y hacia abajo", porque la presión no tiene dirección (como usted señaló correctamente).

  1. ¿Cómo puedo escribir una prueba con cualquier sólido general? (no solo cilindro)

El principio de Arquímedes para un cuerpo de forma arbitraria se puede probar más fácilmente con el teorema del gradiente de Gauss . Este teorema relaciona una integral sobre un área de superficie cerrada ∂ V a una integral sobre el volumen encerrado V .

(1) ∮ ∂ V pag ( r → )   d A → = ∫ V ∇ → pag ( r → )   d V
dónde pag ( r → ) es cualquier función dependiente de la posición, y ∇ → es el operador de gradiente .

Ahora, como función dependiente de la posición, elegimos la presión

(2) pag ( r → ) = pag 0 − ρ gramo z
dónde z es la coordenada de posición vertical y pag 0 es la presión a nivel cero ( z = 0 ). Necesitamos un signo menos aquí, porque la presión aumenta cuando baja en el líquido (es decir, en negativo z -dirección).

Entonces el gradiente de (2) es

(3) ∇ → pag ( r → ) = − ρ gramo z ^
dónde z ^ es el vector unitario en z -dirección (es decir, hacia arriba).

Insertando (3) en (1) obtenemos

∮ ∂ V pag ( r → ) d A → = ∫ V ( − ρ gramo z ^ )   d V .

Ahora en el lado izquierdo pag   d A → obviamente es la fuerza de presión que actúa sobre el elemento de área superficial d A → (excepto por un signo menos, porque el elemento de fuerza d F → puntos dentro del cuerpo, mientras que el elemento de área d A → puntos exteriores). Y en el lado derecho, las constantes ( − ρ gramo z ^ ) se puede factorizar. Entonces obtenemos

− ∮ ∂ V d F → = − ρ gramo z ^ ∫ V d V
o finalmente
F → = ρ gramo z ^ V .
Este es solo el principio de Arquímedes (la fuerza de flotación apunta hacia arriba y es igual al peso del líquido desplazado).

La demostración es válida para un cilindro. Sin embargo, tiene razón en que es incorrecto hablar de "presión al alza" y "presión a la baja". Está bien, por supuesto, hablar de la fuerza hacia arriba y la fuerza hacia abajo debido a la presión del fluido.

Hay dos formas bien conocidas de derivar el Principio de A para una forma general de sólido. El primero es una generalización del método que ha citado para un cilindro: consideramos la suma (o integral) de las componentes verticales de las fuerzas debidas a la presión hidrostática sobre los elementos de varios ángulos de la superficie del sólido. El segundo método es este...

Considere el trozo, C, de fluido que solía ocupar el espacio que ahora ocupa el sólido. C habrá estado en equilibrio (si el fluido está estacionario), por lo que la fuerza neta del fluido circundante sobre C debe ser igual y opuesta al peso de C. Ahora que C se reemplaza por el sólido con exactamente la misma forma de superficie como C, el empuje hidrostático resultante será el mismo. De ahí el Principio de Arquímedes.

Encontré esta interesante línea de texto en un artículo: "Arquímedes desarrolló pruebas matemáticas rigurosas para la mayoría de sus ideas. Sin embargo, la derivación de la fuerza exacta ejercida por un fluido no homogéneo sobre un cuerpo de forma arbitraria inmerso en él, como se verá que se muestra aquí, exige el conocimiento del teorema de la divergencia , una herramienta matemática que estaba fuera del alcance de los antiguos. Por lo tanto, la validez de las proposiciones de Arquímedes para este caso más general no se probó formalmente en su trabajo original".
Eso suena a verdad. Por supuesto, no consideré un fluido no homogéneo, aunque, en este momento, no puedo ver por qué el método que ofrecí en mi último párrafo aún no se aplicaría.
Así que supongo que significa, probar AP para fluidos homogéneos (incompresibles) = bastante fácil. Demostrando AP para fluido homogéneo = difícil?
¿Es esta una prueba válida del principio de Arquímedes?
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