¿Es correcta esta fórmula generalizada de radiación de Hawking?

Question

¿Es correcta esta fórmula generalizada de radiación de Hawking?

Física
agujeros negros
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acechador

Mire la ecuación 11.2.17 en esta página . La expresión es:

T = 10^{- 5} km \frac{ξ}{\frac{GRAMO METRO}{C^{2}} {\frac{GRAMO METRO}{C^{2}} + ξ} - {mi}^{2}}

$T = 10^{-5} \text{K m} \frac{\xi}{\frac{GM}{c^2} \lbrace \frac{GM}{c^2} + \xi \rbrace - e^2 }$

dónde

ξ = (r_{s}^{2} - a^{2} - {mi}^{2})^{1 / 2}

$\xi = (r_s^2 - a^2 - e^2)^{1/2}$

y los parámetros habituales

r_{s} = \frac{GRAMO METRO}{C^{2}}

$r_s = \frac{GM}{c^2}$

a^{2} = \frac{L^{2}}{{METRO}^{2} C^{2}}

$a^2 = \frac{L^2}{M^2 c^2}$

{mi}^{2} = \frac{q^{2} GRAMO}{4 π ϵ_{0} C^{4}}

$e^2 = \frac{Q^2 G}{4 \pi \epsilon_0 c^4}$

Se supone que esta fórmula describe la temperatura de un agujero negro con momento angular. $L$ , cargar $Q$ y masa $M$

Pregunta: ¿es correcta la fórmula anterior?

Estoy tratando de encontrar la temperatura límite para $a=0$ y $e=r_s$

La expresión de la temperatura se puede simplificar como

T = 10^{- 5} km \frac{ξ}{ξ^{2} + a^{2} + \frac{GRAMO METRO}{C^{2}} ξ}

$T = 10^{-5} \text{K m} \frac{\xi}{\xi^2 + a^2 + \frac{GM}{c^2} \xi }$

si $a=0$ ,

T = 10^{- 5} km \frac{1}{ξ + \frac{GRAMO METRO}{C^{2}}}

$T = 10^{-5} \text{K m} \frac{1}{\xi + \frac{GM}{c^2} }$

entonces cuando el agujero negro tiene carga extrema, $\xi=0$ y la temperatura se parece a la temperatura normal de un agujero negro para el agujero negro de Schwarzschild, que se ve muy mal

¿Alguna idea de dónde está el error? Esperaba la temperatura del agujero negro extremo cargado con $a=0$ ser infinito

Alan Romero

Una perturbación en la fuerza me dice que su ecuación original debe tener un factor de dos en los paréntesis del denominador. Su problema de intuición, sin embargo, podría ser un problema con el manejo de la fracción como

ξ

$\xi$ límites a cero. Si miro tu ecuación original, la temperatura llegaría a cero. Para llegar a tu estado final, tendrías que dividir ambos lados de la fracción por cero... lo que enfureció a los dioses de las matemáticas. quickmeme.com/meme/36gxmd

acechador

El radio de Schwarzschild es en realidad

2 G M / c^{2}

$2GM/c^2$ pero volví a etiquetar

r_{s}

$r_s$ sin el factor 2, pero eso está bien ya que se supone que la extremalidad ocurre en

2 r_{Q} = r_{s}

$2 r_Q= r_s$ , por lo que la condición reetiquetada parece

r_{Q} = r_{s}

$r_Q = r_s$ , en el cual

ξ

$\xi$ debe tender a cero.

acechador

lo siento, tal vez entendí mal dónde falta exactamente el factor de dos. En cualquier caso, no veo ningún factor de 2 en el denominador en la página vinculada. He estado buscando una fuente separada de la expresión de temperatura para verificar, pero no puedo encontrar ninguna.

acechador

@AlanSE también tiende a cero para mí, lo que contradice lo que se dice más adelante en esa página (que la temperatura debería tender al infinito en la extremalidad), que es precisamente la razón que me lleva a pensar que, ¿quizás toda la expresión es incorrecta?

twistor59

Hay una derivación de la temperatura para Kerr-Newman en esta tesis en la página 36.

Respuestas (1)

¿Es correcta esta fórmula generalizada de radiación de Hawking?

Una perturbación en la fuerza me dice que su ecuación original debe tener un factor de dos en los paréntesis del denominador. Su problema de intuición, sin embargo, podría ser un problema con el manejo de la fracción como $\xi$ límites a cero. Si miro tu ecuación original, la temperatura llegaría a cero. Para llegar a tu estado final, tendrías que dividir ambos lados de la fracción por cero... lo que enfureció a los dioses de las matemáticas. quickmeme.com/meme/36gxmd
El radio de Schwarzschild es en realidad $2GM/c^2$ pero volví a etiquetar $r_s$ sin el factor 2, pero eso está bien ya que se supone que la extremalidad ocurre en $2 r_Q= r_s$ , por lo que la condición reetiquetada parece $r_Q = r_s$ , en el cual $\xi$ debe tender a cero.
lo siento, tal vez entendí mal dónde falta exactamente el factor de dos. En cualquier caso, no veo ningún factor de 2 en el denominador en la página vinculada. He estado buscando una fuente separada de la expresión de temperatura para verificar, pero no puedo encontrar ninguna.
@AlanSE también tiende a cero para mí, lo que contradice lo que se dice más adelante en esa página (que la temperatura debería tender al infinito en la extremalidad), que es precisamente la razón que me lleva a pensar que, ¿quizás toda la expresión es incorrecta?
Hay una derivación de la temperatura para Kerr-Newman en esta tesis en la página 36.

Alan Romero · Answer 1

En una pregunta anterior, Stan Liou publicó una respuesta que tenía estas ecuaciones:

¿A qué velocidad pierde masa un agujero negro giratorio a través de la radiación de Hawking?

r_{\pm} = \frac{GRAMO}{C^{2}} [METRO \pm \sqrt{{METRO}^{2} - \frac{1}{4 π ϵ_{0} GRAMO} q^{2} - \frac{C^{2}}{{GRAMO}^{2}} \frac{j^{2}}{{METRO}^{2}}}]

$r_\pm = \frac{G}{c^2}\left[M\pm\sqrt{M^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0G}Q^2-\frac{c^2}{G^2}\frac{J^2}{M^2}}\right]$

k = C^{2} \frac{r_{+} - r_{-}}{2 (r_{+}^{2} + a^{2})},

$\kappa = c^2\frac{r_+-r_-}{2(r_+^2+a^2)},$

T = \frac{ℏ}{C k_{B}} \frac{k}{2 π} .

$T = \frac{\hbar}{c k_B}\frac{\kappa}{2\pi}.$

Ahora, comienza mi trabajo.

Usaré la misma notación en la pregunta aquí, por $r_s$ , $a^2$ , y $e^2$ . Con estos, podemos reescribir las ecuaciones anteriores.

r_{\pm} = r_{s} \pm \sqrt{r_{s}^{2} - {mi}^{2} - a^{2}} = r_{s} \pm ξ

$r_{\pm} = r_s \pm \sqrt{ r_s^2 - e^2 - a^2 } = r_s \pm \xi$

k = C^{2} \frac{r_{+} - r_{-}}{2 (r_{+}^{2} + a^{2})} = C^{2} \frac{2 ξ}{2 ((r_{s} + ξ)^{2} + a^{2})}

$\kappa = c^2 \frac{ r_{+} - r_- }{2 (r_+^2+a^2) } = c^2 \frac{ 2 \xi }{ 2 ( (r_s+\xi)^2 + a^2 ) }$

Reduzca aún más la ecuación para kappa. Esto es solo álgebra, sustituyendo en xi una vez.

k = C^{2} \frac{ξ}{2 r_{s} (r_{s} + ξ) - {mi}^{2}}

$\kappa = c^2 \frac{ \xi }{ 2 r_s (r_s+\xi) - e^2 }$

Conéctelo a la temperatura, agrupe las constantes al frente.

T = (\frac{ℏ C}{2 π k_{B}}) \frac{ξ}{2 r_{s} (r_{s} + ξ) - {mi}^{2}}

$T = \left( \frac{ \hbar c }{ 2 \pi k_B } \right) \frac{ \xi }{ 2 r_s (r_s+\xi) - e^2 }$

Un problema es que para el grupo de constantes obtengo $3.6 \times 10^{-4} m K$ . Otra es que esto no coincide con la primera ecuación que publicaste, está errado por un 2. Por último, a medida que avanzamos $e=r_s$ , la temperatura llega a cero, no al infinito como querías.

En resumen, no solo no solucioné su problema, sino que creé aún más problemas.

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Alan Romero

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twistor59

Respuestas (1)

Alan Romero

Temperatura de Bekenstein-Hawking generalizada para agujeros negros de Kerr-Newmann-dS

Agujero negro extremo sin momento angular y sin carga eléctrica

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