¿Es ∣1 ⟩∣1 ⟩∣1 \rangle un abuso de notación?

la notación$\lvert \rangle$pretende dar a entender que$\lvert \text{anything here you want to put here} \rangle$es un vector en un espacio de Hilbert.

Si tienes alguna función de onda$\psi(x)$, entonces a menudo denota el vector abstracto (en lugar de la realización concreta en una base como$\psi(x)$) representa por$\lvert \psi \rangle$.

Si solo tiene un espacio 2D en el que viven los operadores de giro, entonces denota los dos estados propios de uno de ellos por$\lvert \uparrow \rangle$y$\lvert \downarrow \rangle$.

Lo que sea que pongas entre los$\lvert$y el$\rangle$es solo una etiqueta que debe identificar de forma única el vector$\lvert \text{something} \rangle$supuestamente es.

Lo que están diciendo es que$|3\rangle$representa el tercer estado propio de energía del oscilador. Entonces, reemplaza algo como$\psi_3$.

Escribiendo$|3\rangle$requiere contexto: tendría que explicar que iba a numerar el estado propio de energía n del oscilador armónico como$|n\rangle$antes de usar esa notación. No es un abuso de notación, simplemente no es muy autodescriptivo.

También podría usar esta notación: el estado propio de energía n del oscilador armónico es$|N_{energy}^{harm.~osc.} = 3\rangle$, pero sería bastante tedioso de escribir.

¿Cuál es el significado de 3 en este caso?

En este caso, el carácter "3" es una etiqueta descriptiva conveniente para el estado con tres cuantos presentes.

A menudo ocurre que un estado propio se etiqueta con su valor propio asociado.

En el caso del oscilador armónico, el operador numérico conmuta con el operador de energía (Hamiltoniano), por lo que un estado propio de número es también un estado propio de energía.

Así, el estado con tres cuantos presentes satisface

$$\hat N |3\rangle = 3\,|3\rangle$$

Pero también satisface

$$\hat H |3\rangle = (3 + \frac{1}{2})\hbar \omega\, |3\rangle = \frac{7}{2} \hbar \omega\,|3\rangle$$

Entonces estaríamos justificados al etiquetar este estado como

$$|\frac{7}{2} \hbar \omega\rangle$$

aunque eso no es típico.

Es solo una etiqueta. La notación más convencional usa índices para el mismo propósito, pero este último se vuelve difícil de manejar si necesita calificadores más elaborados.

Una aplicación particular es el etiquetado de estados por número de ocupación (ver segunda cuantización ).

En la introducción a la mecánica cuántica siempre se dice que$∣ \rangle$no es más que una notación. Por ejemplo, podemos denotar el estado$\vec \psi$como$∣\psi \rangle$. En otras palabras, la pequeña flecha se ha transformado en un ket.

en euclidiano$n$-espacio, si tengo un vector$\mathbf{v}$, puedo descomponerlo con respecto a alguna base ortonormal$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n\}$:

$$\mathbf{v} = \sum_k \mathbf{e}_k(\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{v})\text{,}$$ donde los numeros $(\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{v})$son los componentes de $\mathbf{v}$con respecto a una base dada. si en lugar de $\mathbf{e}_k$, Escribo $|k\rangle$y usa la notación bra-ket para el producto escalar, esto se convierte en $$|v\rangle = \sum_k |k\rangle\langle k|v\rangle\text{.}$$ Entonces sí, esto es solo notación, pero no en el sentido de "convertir pequeñas flechas en kets".

¿Alguien puede aclarar qué significa que un escalar esté en un ket?

Generalmente, es simplemente una etiqueta, aunque comúnmente, el significado es más específico: significa que tenemos una base indexada por escalares y estamos eligiendo la que corresponde a ese escalar en particular.

En el caso típico, estamos hablando de un observable en particular y estamos etiquetando sus estados propios por los valores propios correspondientes... que es exactamente lo que está pasando en su cita (excepto que se ha desplazado un poco): los estados propios de energía forman una base ortonormal, y estamos etiquetando vectores en esa base.

Si piensas en lo que es una función de onda$\psi(x)$significa (asumir una dimensión), entonces se dará cuenta de que en realidad es una representación de un estado en una base particular, la base de la posición:

$$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle\text{,}$$ dónde $|x\rangle$significa el estado de posición definida $x$. Es exactamente lo mismo, con una base indexada por escalares correspondientes a la posición, y está implícito en cada uso de una función de onda unidimensional. Entonces también podemos escribir $$|\psi\rangle = \int |x\rangle\langle x|\psi\rangle\,\mathrm{d}x\text{,}$$ y de manera similar para otros observables, aunque debemos tener cuidado con la degeneración.

Representando el tercer estado de energía excitado por el símbolo$\left\vert 3 \right\rangle$es a la vez (i) una convención establecida en la mecánica cuántica y (ii) definida explícitamente en su libro. Usar números como etiquetas no es ambiguo en el contexto dado, así que no, no lo llamaría un abuso de notación.

En cuanto a tu comentario sobre la notación.$\vec 3$no tiene sentido: aunque no es convencional, no tendría nada de malo definir tal notación si te apetece. Si un libro de texto de álgebra lineal decidiera nombrar los vectores unitarios cartesianos$\vec 1 \equiv (1,0,0)$,$\vec 2 \equiv (0,1,0)$,$\vec 3 \equiv (0,0,1)$en lugar de$\hat{\mathbf x}$,$\hat{\mathbf y}$,$\hat{\mathbf z}$o$\hat{\mathbf e}_x$,$\hat{\mathbf e}_y$,$\hat{\mathbf e}_z$, entonces nada de importancia cambiaría. Siempre que defina explícitamente su notación , puede expresar las matemáticas en la notación que prefiera.

Dicho esto, personalmente prefiero la notación más detallada.$\left\vert n=3 \right\rangle$para vectores ket (al menos en resultados finales), ya que específicamente señala que es el número cuántico de energía$n$que es igual a tres. Esto evita confusiones con notaciones similares para estados propios de momento.$\left\vert p\right\rangle$, autoestados de posición$\left\vert x \right\rangle$, etcétera. También se generaliza muy bien a sistemas con más números cuánticos, ya que facilita distinguir diferentes representaciones del mismo espacio de estado (como$\left\vert j_1, j_2, m_1, m_2 \right\rangle$y$\left\vert j_1, j_2, j, m\right\rangle$para el momento angular de un sistema compuesto). También hay otras convenciones en la literatura; por ejemplo, algunos autores utilizan la notación$\left\vert \psi_3 \right\rangle$o$\left\vert \phi_3 \right\rangle$para el tercer estado de energía excitado.