Energía cinética de una esfera en expansión [duplicado]

En el estudio de la estructura estelar newtoniana, Weinberg (1972) escribe

La dilatación uniforme de una esfera con densidad uniforme le dará una energía cinética

tu = 3 10 METRO R ˙ 2

No sé cómo derivar esto, o incluso realmente por dónde empezar. ¿Se resuelve la esfera en partículas o se la trata de algún modo como un continuo? Estoy bastante perplejo y varias búsquedas en línea no han sido fructíferas.

Entonces, ¿cómo se deriva esto?

Gracias.

no es tu generalmente se utiliza para la energía potencial?
@HDE226868: Sí, lo es. Eso es extraño (copié directamente del texto).
La notación de Weinberg nunca se ajusta a lo que usan otras personas. En cuanto a la pregunta, eso es sorprendentemente no obvio. ¿ Cuál es la definición de energía cinética utilizada aquí? (Dado que tenemos una densidad de masa continua, 1 2 metro v 2 realmente parece adecuado.)
@ACuriousMind: También tenía curiosidad sobre la definición . Pensé que era obvio y simplemente me lo estaba perdiendo. De hecho, mi búsqueda en Google no ha revelado nada útil. Muy extraño. ¿Sería útil el contexto?
Espera, ¿la esfera es una pelota (como lo indica Mark a continuación)? (Para mí, "esfera" significa solo el límite de una bola sólida)
He tenido esta pregunta durante bastante tiempo, así que no recuerdo el contexto al 100%, pero considerando que se usa en el estudio de un politropo en expansión, probablemente sea una pelota .
@ACuriousMind Si no recuerdo mal, la convención en la mecánica newtoniana es llamar a su "bola" una "esfera" y a su "esfera" una "cáscara"; al menos, por eso se llama el teorema de la cáscara .

Respuestas (1)

Imagínense un caparazón en expansión. Entonces todas las partes se mueven a la misma velocidad. Si la masa es METRO y el radio es R , entonces la energía cinética es 1 2 METRO R ˙ 2 .

Una esfera es solo una serie de caparazones. Una concha en el radio r tiene masa d metro = METRO 4 / 3 π R 3 4 π r 2 d r y se expande a una velocidad proporcional a la velocidad de expansión de la esfera multiplicada por la distancia fraccionaria del caparazón desde el centro. Así podemos integrar

tu = ∫ 0 R 1 2 ( r R R ˙ ) 2 METRO 4 / 3 π R 3 4 π r 2 d r

Evaluando se obtiene la expresión en la pregunta.

Por qué ( r R ˙ / R ) 2 ?
Dice que si, por ejemplo, la esfera se expande a 2 cm/s por fuera y miras un punto a medio camino del centro hacia afuera, ese punto se expande a 1 cm/s.
Energía cinética de una esfera en expansión [duplicado]
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