Energía cinética de un fotón y radio de Schwarzschild

Question

Energía cinética de un fotón y radio de Schwarzschild

71GA

he leido aqui que $\frac{1}{2}mv^2$ no debe ser aplicado en un fotón nunca.

Si quiero calcular la velocidad de escape $v_e$ necesito usar $\frac{1}{2}mv^2$ porque decimos que la energía cinética (positiva) debe ser igual o mayor que el potencial gravitatorio (que es negativo) para que un objeto escape. Se hace así:

\begin{aligned} W_{k} + W_{pag} & = 0 \\ \frac{1}{2} metro v_{mi}^{2} + (- \frac{GRAMO METRO metro}{r}) & = 0 \\ v_{mi} & = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{r}} \end{aligned}

$\begin{split} W_k + W_p &= 0\\ \frac{1}{2}mv_e^2 + \left(-\frac{GMm}{r}\right) &= 0\\ v_e &= \sqrt{\frac{2GM}{r}} \end{split}$

Entonces decimos que si hay un agujero negro dentro de cierto radio, lo llamamos radio de Schwarzschield $r=R_{sch}$ ni siquiera la luz puede escapar porque su velocidad de escape es menor que la necesaria para escapar. En el límite de la esfera con $R_{sch}$ la luz apenas puede escapar, por lo que debe sostener que $c$ igual a la velocidad de escape $v_e$ . Así que escribimos la siguiente ecuación y derivamos $R_{sch}$ .

\begin{aligned} C & = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{R_{s C h}}} \\ R_{s C h} & = \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2}} \end{aligned}

$\begin{split} c &= \sqrt{\frac{2GM}{R_{sch}}}\\ R_{sch} &= \frac{2GM}{c^2} \end{split}$

Esta es una ecuación bien conocida, pero también se deriva usando $\frac{1}{2}mv^2$ para la luz (fotones). Esto está en contradicción con la primera declaración en esta publicación. Entonces, ¿es válida la última ecuación?

dmckee --- gatito ex-moderador

\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2 m}

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ ni siquiera es generalmente correcto para partículas masivas: solo se aplica donde

v ≪ c

$v \ll c$ . Para velocidades altas es obligatorio utilizar la expresión relativista correcta

\sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} - m c^{2}

$\sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} - mc^2$ . Obviamente

c ≪̸ c

$c \not\ll c$ entonces obtienes

\sqrt{0 + p^{2} c^{2}} - 0 = p c

$\sqrt{0 + p^2c^2} - 0 = pc$ .

jerry schirmer

Es una coincidencia aleatoria. En particular, su derivación no cambia si el "agujero negro" está girando, pero en relatividad general completa, tendrá

R = \frac{G}{c^{2}} (M + \sqrt{M^{2} - \frac{J^{2} c^{2}}{G^{2} M^{2}}})

$R = \frac{G}{c^{2}}\left(M + \sqrt{M^{2} - \frac{J^{2}c^{2}}{G^{2}M^{2}}}\right)$ , dónde

J

$J$ es el momento angular del agujero negro.

usuario10851

Efectivamente es casualidad. Ver también mi respuesta a esta pregunta

71GA

Nuestro profesor lo derivó así. ¡Además, ni siquiera nos advirtió que la derivación es INCORRECTA! ¡Pero estoy asombrado! Que casualidad de verdad :)

Dan toca el violín a la luz del fuego

@71GA Felicidades. Nunca logré atrapar a mis profesores en errores más serios que signos invertidos o similares. :)

Estilo clásico

Las constantes en la relatividad general están fijadas para estar de acuerdo con la física newtoniana en el límite del campo débil... Dudo que sea una coincidencia total

Respuestas (2)

Energía cinética de un fotón y radio de Schwarzschild

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ ni siquiera es generalmente correcto para partículas masivas: solo se aplica donde $v \ll c$ . Para velocidades altas es obligatorio utilizar la expresión relativista correcta $\sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} - mc^2$ . Obviamente $c \not\ll c$ entonces obtienes $\sqrt{0 + p^2c^2} - 0 = pc$ .
Es una coincidencia aleatoria. En particular, su derivación no cambia si el "agujero negro" está girando, pero en relatividad general completa, tendrá $R = \frac{G}{c^{2}}\left(M + \sqrt{M^{2} - \frac{J^{2}c^{2}}{G^{2}M^{2}}}\right)$ , dónde $J$ es el momento angular del agujero negro.
Efectivamente es casualidad. Ver también mi respuesta a esta pregunta
Nuestro profesor lo derivó así. ¡Además, ni siquiera nos advirtió que la derivación es INCORRECTA! ¡Pero estoy asombrado! Que casualidad de verdad :)
@71GA Felicidades. Nunca logré atrapar a mis profesores en errores más serios que signos invertidos o similares. :)
Las constantes en la relatividad general están fijadas para estar de acuerdo con la física newtoniana en el límite del campo débil... Dudo que sea una coincidencia total

nerviosxxx · Answer 1

Este es uno de esos casos en los que el fin no justifica los medios... El hecho de que se obtenga un resultado verdadero de leyes que se supone que no se cumplen en esa situación, no significa que las leyes se puedan usar allí. .

Si está preguntando si existe una conexión más profunda entre el uso $\frac{1}{2}mv^2$ y obteniendo el radio, que yo sepa, no hay ninguno: simplemente es una coincidencia que coincidan.

Como dijo Michael Brown, el radio de Schwarzschild solo se puede derivar de GR, en el que la métrica de Schwarzschild

\begin{aligned} d s^{2} = - (1 - 2 GRAMO METRO / r) d t^{2} + (1 - 2 GRAMO METRO / r)^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2} \end{aligned}

$\begin{align} ds^2 = - (1-2GM/r) dt^2 + (1-2GM/r)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2 \end{align}$ es la única solución máximamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en el vacío. (he puesto

c = 1

$c = 1$ ) aquí. Tenga en cuenta que algo interesante está sucediendo cuando

r = 2 G M

$r = 2GM$ , y se puede seguir demostrando que

r = 2 G M

$r = 2GM$ pasa a ser el límite de la parte causal del futuro infinito nulo, que identificamos como el horizonte de sucesos.

Miguel · Answer 2

La respuesta corta es no, $\frac{1}{2}mv^2$ nunca es válido para fotones. La energía de un fotón está dada por

mi = h F = ℏ ω = \frac{h C}{λ}

$E = h f = \hbar \omega = \frac{h c}{\lambda}$ siempre _ La derivación del radio de Schwarzschild que mencionas es incorrecta y da la respuesta correcta accidentalmente. La derivación correcta requiere relatividad general .

Energía cinética de un fotón y radio de Schwarzschild

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dmckee --- gatito ex-moderador

jerry schirmer

usuario10851

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nerviosxxx

Miguel

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