Encontrar R para la potencia máxima entregable a R y determinar la potencia máxima

Question

Encontrar R para la potencia máxima entregable a R y determinar la potencia máxima

solopesado

Esto se relaciona con la transferencia de potencia máxima. Aquí está mi circuito:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Mi objetivo es tratar de encontrar el valor de R para la potencia máxima que se le puede entregar. Entonces calcularé esa potencia también. Intenté dibujar el circuito con un puerto a a la izquierda de la resistencia R y un puerto ab a la derecha de la resistencia R y luego intenté calcular Rth cortando las fuentes de voltaje independientes, pero cada vez que hago eso y aplico KCL o KVL Obtengo ecuaciones que equivalen a cero o no hay suficientes ecuaciones para resolver todas las incógnitas.

Eso es solo Rth, ni siquiera sé por dónde empezar a calcular Vth para este circuito. Mi mejor suposición es que ignoraré la R o la resistencia de carga y luego aplicaré el análisis nodal u otras técnicas, pero no estoy seguro de cuál usar.

Conozco estas ecuaciones:

V_{o C} = V_{t h} I_{norte} = I_{s C} R_{norte} = R_{t h} = \frac{V_{o C}}{I_{s C}} R_{L} = R_{t h} {pag}_{metro a X} = \frac{V_{t h}^{2}}{4 R_{t h}} W h mi norte R_{L} \neq R_{t h} pag = i^{2} R_{L} = (\frac{V_{t h}}{R_{t h} + R_{L}})^{2} R_{L}

$V_{oc}=V_{th}\;\;\;\;\;\;I_N=I_{sc}\;\;\;\;\;\;R_N=R_{th}={V_{oc}\over I_{sc}}\;\;\;\;\;\;R_L=R_{th}\;\;\;\;\;\;p_{max}={V_{th}^2 \over {4R_{th}}}\;\;\;\;\;\;When\;\;\;R_L \ne R_{th}\;\;\;p=i^2R_L=({V_{th}\over{R_{th}+R_L}})^2R_L$ Conozco esas ecuaciones pero no sé cómo obtenerlas correctamente.

Lo siento, no puedo mostrar el trabajo o explicarlo más, esto es lo más lejos que puedo llegar en este momento. Cualquier ayuda será muy apreciada. ¡Gracias!

En este momento estoy más familiarizado con la superposición, Thevenin, Norton, Nodal, Mesh y la ley de Ohm.

EDITAR: en caso de que alguien todavía esté leyendo esto, todavía estoy atascado y cada vez que intento resolver Voc o Isc obtengo un sistema de ecuaciones que no se puede resolver.

carloc

Prefiero tratar de obtener el equivalente de Thevenin a través de la corriente de cortocircuito y el voltaje de circuito abierto en el puerto R ... obtendrá dos circuitos simples de resolver. Siempre es una buena idea dividir los problemas en partes más pequeñas, el enfoque de fuerza bruta es para las computadoras.

broma

No veo cómo la fuente de voltaje dependiente de la corriente o el

1 Ω

$1\:\Omega$ la resistencia significa algo para la respuesta. Simplemente podría sacarlos del circuito y conectar a tierra ese extremo ahora suelto de la fuente de corriente dependiente del voltaje restante y aún tener el mismo problema por resolver. (Sospecho que no transcribiste bien el circuito. ¿Quizás algo no está bien?)

solopesado

No, este es exactamente el circuito.

broma

@JustHeavy Estoy tratando de que veas algo aquí que hace que este circuito sea algo único (en un sentido matemático). Dados los otros comentarios aquí, no estoy seguro de que otros que han escrito todavía "ven" el problema. Parecen imaginar que si sigues un proceso básico, el final de ese camino te dará algo razonable. En realidad, esta es una pregunta interesante ahora que miro más de cerca.

solopesado

Gracias por su aporte, pero por lo que he aprendido hasta ahora, no puedo ver cómo podría simplemente 'perder' la fuente dependiente. Estoy empezando a pensar que no puedo encontrar el valor R. He dedicado demasiadas horas a este problema ahora.

broma

@JustHeavy Bueno, déjame volver a dibujar las cosas para ti. Si lo estoy leyendo correctamente, se reduce a este esquema . Si no, por favor hágame saber por qué. cometo errores

Tony Estuardo EE75

Simplemente abra todas las fuentes de corriente y cortocircuite todas las fuentes de voltaje para determinar Zout y hacer coincidir R con eso, = 4/3 ohm, respuesta rápida

Respuestas (2)

Encontrar R para la potencia máxima entregable a R y determinar la potencia máxima

Prefiero tratar de obtener el equivalente de Thevenin a través de la corriente de cortocircuito y el voltaje de circuito abierto en el puerto R ... obtendrá dos circuitos simples de resolver. Siempre es una buena idea dividir los problemas en partes más pequeñas, el enfoque de fuerza bruta es para las computadoras.
No veo cómo la fuente de voltaje dependiente de la corriente o el $1\:\Omega$ la resistencia significa algo para la respuesta. Simplemente podría sacarlos del circuito y conectar a tierra ese extremo ahora suelto de la fuente de corriente dependiente del voltaje restante y aún tener el mismo problema por resolver. (Sospecho que no transcribiste bien el circuito. ¿Quizás algo no está bien?)
@JustHeavy Estoy tratando de que veas algo aquí que hace que este circuito sea algo único (en un sentido matemático). Dados los otros comentarios aquí, no estoy seguro de que otros que han escrito todavía "ven" el problema. Parecen imaginar que si sigues un proceso básico, el final de ese camino te dará algo razonable. En realidad, esta es una pregunta interesante ahora que miro más de cerca.
Gracias por su aporte, pero por lo que he aprendido hasta ahora, no puedo ver cómo podría simplemente 'perder' la fuente dependiente. Estoy empezando a pensar que no puedo encontrar el valor R. He dedicado demasiadas horas a este problema ahora.
@JustHeavy Bueno, déjame volver a dibujar las cosas para ti. Si lo estoy leyendo correctamente, se reduce a este esquema . Si no, por favor hágame saber por qué. cometo errores
Simplemente abra todas las fuentes de corriente y cortocircuite todas las fuentes de voltaje para determinar Zout y hacer coincidir R con eso, = 4/3 ohm, respuesta rápida

Chu · Answer 1

Utilice Thevenin, con $\small R$ como la carga. Determinar $\small R_{TH}$ (apagar todas las fuentes); entonces la máxima transferencia de potencia será cuando $\small R=R_{TH}$ . No hay necesidad de determinar $\small V_{TH}$ o $\small I_{SC}$ .

Se necesita Isc o Vth para calcular la potencia solicitada, pero también son la forma más sencilla de obtener Rth.
@carloc $\small R_{TH}$ es simplemente 2||4 ohmios. La pregunta parece ser encontrar R, y '... luego calcularé la potencia también...' parece una ocurrencia tardía.
¿Está seguro de que el VCCS en el nodo V3 descarta Rth? Sin embargo, para la idea de último momento, puede que tengas razón.
@carloc, no sé qué es V3; ¡Lo tomé como algo aleatorio, como el I0 y la torpe -> flecha!
Estás en lo correcto. El V3 y el I0 solo se dan en el dibujo del circuito, no son necesarios. Deseo calcular la potencia, pero eso debería ser simple cuando se encuentran las variables.

Simón Fitch · Answer 2

Consulte la actualización n. ° 1 a continuación. Mi respuesta original (inmediatamente después de este párrafo) asume que la fuente de voltaje controlada por voltaje en su esquema tiene una cierta polaridad. Si lee el artículo Fuentes dependientes y el teorema de Thevenin , su convención para la polaridad de la fuente de corriente dependiente es algo contraria a la intuición (al menos para mí), pero aplicar esa convención a su circuito produce una solución viable, mientras que mi suposición inicial no , como lo describo ahora.

Pasé un par de horas tratando de encontrar el equivalente de Thevenin de este circuito, antes de darme cuenta de que esto no es necesariamente posible. Así que ataqué todo el circuito con análisis nodal.

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Estas son las ecuaciones que se me ocurrieron (las polaridades son críticas, así que presta atención a los signos):

KVL aplicado a los 4 bucles:

4 \times I_{O} + V_{X} + I_{4} R = 0 V

$4 \times I_O + V_X + I_4R = 0V$

5 V + 4 \times I_{O} - 1 Ω \times I_{1} = 0 V

$5V + 4 \times I_O - 1\Omega \times I_1 = 0V$

1 Ω \times I_{1} + V_{X} - 4 Ω \times I_{O} = 0 V

$1\Omega \times I_1 + V_X - 4\Omega \times I_O = 0V$

4 Ω \times I_{O} + 2 Ω \times I_{3} - 10 V = 0 V

$4\Omega \times I_O + 2\Omega \times I_3 - 10V = 0V$

KCL aplicado al nodo B (recordando que $V_O = I_4R$ ):

I_{3} + I_{4} - I_{O} - 2 I_{4} R = 0 A

$I_3 + I_4 - I_O - 2I_4R = 0A$

Hay cinco incógnitas, $V_X$ , $I_O$ , $I_1$ , $I_3$ y $I_4$ y cinco ecuaciones simultáneas. Resolviendo para $I_4$ , estos se reducen a la siguiente relación entre la resistencia R y la corriente a través de ella, $I_4$ :

I_{4} = - \frac{5}{4 - 5 R}

$I_4 = -\frac{5}{4-5R}$

Sin ninguna diferenciación ni uso del Teorema de Transferencia de Potencia Máxima , está bastante claro que el denominador se acerca a cero cuando R se acerca a 800 mΩ. Ahí es donde la corriente está en un máximo imposible de ∞A, y donde la potencia estará en un máximo.

¿Estás seguro de que copiaste el esquema correctamente? Tal vez no lo hice.

Aquí hay un modelo de CircuitLab en funcionamiento, donde puede verificar esta discontinuidad:

esquemático

^{simular este circuito}

Actualización #1

Hasta ahora supuse que la fuente de corriente producía corriente hacia la izquierda cuando $V_O$ es positivo, lo que puede no ser el caso. Aquí realizo un análisis nodal completo para el caso en que invertimos esta dirección de corriente, pero esta es solo una forma de encontrar la potencia máxima en R. Una mejor manera puede ser encontrar el circuito equivalente de Thevenin entre A y B, que lo haré después. Las ecuaciones se convierten en:

KVL alrededor de los cuatro bucles:

4 \times I_{O} + V_{X} + I_{4} R = 0 V

$4 \times I_O + V_X + I_4R = 0V$

5 V + 4 \times I_{O} - 1 Ω \times I_{1} = 0 V

$5V + 4 \times I_O - 1\Omega \times I_1 = 0V$

1 Ω \times I_{1} + V_{X} - 4 Ω \times I_{O} = 0 V

$1\Omega \times I_1 + V_X - 4\Omega \times I_O = 0V$

4 Ω \times I_{O} + 2 Ω \times I_{3} - 10 V = 0 V

$4\Omega \times I_O + 2\Omega \times I_3 - 10V = 0V$

KCL (nuevamente teniendo en cuenta que $V_O = I_4R$ ):

I_{3} + I_{4} - I_{O} \overset{cambio de signo}{\overset{⏞}{+ 2 I_{4} R}} = 0 A

$I_3 + I_4 - I_O \overbrace{+ 2I_4R}^{\text{sign change}} = 0A$

Esta vez, resolviendo $I_4$ revela esta relación, que no sufre la misma discontinuidad:

I_{4} = - \frac{5}{4 + 11 R}

$I_4 = -\frac{5}{4+11R}$

Eso significa, por lo que puedo decir, que existe un equivalente de Thevenin, que deduciré en un momento. Por ahora, quiero encontrar algebraicamente el valor de R que disipará la mayor cantidad de energía, lo que requiere la ley de potencia:

\begin{aligned} PAG & = I_{4}^{2} R \\ = (\frac{- 5}{4 + 11 R})^{2} R \\ = \frac{25 R}{121 R^{2} + 88 R + dieciséis} \end{aligned}

$\begin{aligned} P &= I_4^2 R \\ \\ &= (\frac{-5}{4+11R})^2 R \\ \\ &= \frac{25R}{121R^2 + 88R + 16} \end{aligned}$

Haré trampa con Wolfram Alpha para encontrar la derivada y la igualaré a cero (para encontrar máximos y mínimos):

\frac{d PAG}{d R} = 0 = - \frac{25 (11 R - 4)}{(11 R + 4)^{3}}

$\frac{dP}{dR} = 0 = -\frac{25(11R-4)}{(11R+4)^3}$

Wolfram Alpha también proporciona la solución, que es:

R = \frac{4}{11} Ω = 363.6 metro Ω

$R = \frac{4}{11}\Omega = 363.6m\Omega$

Para encontrar el circuito equivalente de Thevenin, necesitamos conocer el voltaje de circuito abierto, que se ve así, y dónde debemos encontrar $V_O\ = V_A-V_B$ :

esquemático

^{simular este circuito}

Las ecuaciones KVL y KCL para esto son las mismas, con un par de cambios:

voy a reemplazar $I_4R$ con $V_O$ , el voltaje entre A y B que deseamos encontrar, y
$I_4 = 0$ , ya que no hay resistencia para extraer corriente de $V_O$ .

4 \times I_{O} + V_{X} + V_{O} = 0 V

$4 \times I_O + V_X + V_O = 0V$

5 V + 4 \times I_{O} - 1 Ω \times I_{1} = 0 V

$5V + 4 \times I_O - 1\Omega \times I_1 = 0V$

1 Ω \times I_{1} + V_{X} - 4 Ω \times I_{O} = 0 V

$1\Omega \times I_1 + V_X - 4\Omega \times I_O = 0V$

4 Ω \times I_{O} + 2 Ω \times I_{3} - 10 V = 0 V

$4\Omega \times I_O + 2\Omega \times I_3 - 10V = 0V$

I_{3} - I_{O} + 2 V_{O} = 0 A

$I_3 - I_O + 2V_O = 0A$

Para facilitar la solución, usando manipulaciones de matriz, o inversa, o cualquier técnica que quieras usar, aquí están esas mismas ecuaciones con todas las incógnitas en columnas:

\begin{array}{lllllll} + V_{O} & + V_{X} & + 4 I_{O} & = & 0 \\ + 4 I_{O} & - I_{1} & = & - 5 \\ + V_{X} & - 4 I_{O} & + I_{1} & = & 0 \\ + 4 I_{O} & + 2 I_{3} & = & + 10 \\ + 2 V_{O} & - I_{O} & + I_{3} & = & 0 \end{array}

$\begin{array}{lllllll} &+V_O &+V_X &+4I_O & & &= &0 \\ & & &+4I_O &-I_1 & &= &-5 \\ & &+V_X &-4I_O &+I_1 & &= &0 \\ & & &+4I_O & &+2I_3 &= &+10 \\ &+2V_O & &-I_O & &+I_3 &= &0 \\ \end{array}$

Haré trampa nuevamente y usaré un solucionador en línea , que me dio este resultado:

\begin{aligned} V_{O} & = - \frac{5}{11} & = - 454.5 metro V \\ V_{X} & = - 5 V \\ I_{O} & = + \frac{15}{11} & = + 1.364 A \\ I_{1} & = + \frac{115}{11} & = + 10.46 A \\ I_{3} & = + \frac{25}{11} & = + 2.273 A \end{aligned}

$\begin{aligned} V_O &= -\frac{5}{11} &= -454.5mV \\ \\ V_X &= -5V \\ \\ I_O &= +\frac{15}{11} &= +1.364A \\ \\ I_1 &= +\frac{115}{11} &= +10.46A \\ \\ I_3 &= +\frac{25}{11} &= +2.273A \end{aligned}$

Nuestro voltaje de Thevenin es $V_{TH} = V_O = -454mV$ .

Podemos encontrar la resistencia de Thevenin $R_{TH}$ encontrando la corriente de cortocircuito. Como ya tenemos la relación entre $I_4$ y R, esto es trivial. Simplemente establezca R en cero:

I_{4} = - \frac{5}{4 + 11 R} = - \frac{5}{4} = - 1.250 A

$I_4 = -\frac{5}{4+11R} = -\frac{5}{4} = -1.250A$

A partir de ahí, encontrando $R_{TH}$ es un caso de encontrar qué resistencia a través $V_{TH}$ produciría -1.25A:

\begin{aligned} R_{T H} & = \frac{V_{T H}}{I_{4}} \\ = \frac{- 454.5 metro V}{- 1.250 A} \\ = 363.6 metro Ω \end{aligned}

$\begin{aligned} R_{TH} &= \frac{V_{TH}}{I_4} \\ \\ &= \frac{-454.5mV}{-1.250A} \\ \\ &= 363.6m\Omega \end{aligned}$

Sin embargo, ese enfoque supone que ha derivado la fórmula relacionada $I_4$ y R, y francamente fue un fastidio hacerlo. Entonces, tal vez sería más fácil modificar esas ecuaciones simultáneas una vez más, para encontrar la corriente de cortocircuito a través de una solución matricial.

En primer lugar, establecemos $V_O = I_4R = 0V$ en todas las ecuaciones originales:

4 \times I_{O} + V_{X} + 0 V = 0 V

$4 \times I_O + V_X + 0V = 0V$

5 V + 4 \times I_{O} - 1 Ω \times I_{1} = 0 V

$5V + 4 \times I_O - 1\Omega \times I_1 = 0V$

1 Ω \times I_{1} + V_{X} - 4 Ω \times I_{O} = 0 V

$1\Omega \times I_1 + V_X - 4\Omega \times I_O = 0V$

4 Ω \times I_{O} + 2 Ω \times I_{3} - 10 V = 0 V

$4\Omega \times I_O + 2\Omega \times I_3 - 10V = 0V$

I_{3} + I_{4} - I_{O} + 0 A = 0 A

$I_3 + I_4 - I_O + 0A = 0A$

Como una pseudo-matriz:

\begin{array}{lllllll} + V_{X} & + 4 I_{O} & = & 0 \\ + 4 I_{O} & - I_{1} & = & - 5 \\ + V_{X} & - 4 I_{O} & + I_{1} & = & 0 \\ + 4 I_{O} & + 2 I_{3} & = & + 10 \\ - I_{O} & + I_{3} & + I_{4} & = & 0 \end{array}

$\begin{array}{lllllll} &+V_X &+4I_O & & & &= &0 \\ & &+4I_O &-I_1 & & &= &-5 \\ &+V_X &-4I_O &+I_1 & & &= &0 \\ & &+4I_O & &+2I_3 & &= &+10 \\ & &-I_O & &+I_3 &+I_4 &= &0 \\ \end{array}$

Las soluciones son:

\begin{aligned} V_{X} & = - 5 V \\ I_{O} & = + \frac{5}{4} & = + 1.250 A \\ I_{1} & = + 10 A \\ I_{3} & = + \frac{5}{2} & = + 2.500 A \\ I_{4} & = - \frac{5}{4} & = - 1.250 A \end{aligned}

$\begin{aligned} V_X &= -5V \\ \\ I_O &= +\frac{5}{4} &= +1.250A \\ \\ I_1 &= +10A \\ \\ I_3 &= +\frac{5}{2} &= +2.500A \\ \\ I_4 &= -\frac{5}{4} &= -1.250A \end{aligned}$

Ese es el mismo resultado para $I_4$ corriente de cortocircuito como predijimos antes, y por supuesto producirá el mismo $R_{TH}$ . Por el Teorema de Transferencia de Máxima Potencia , claramente la resistencia de carga R debe ser $R = R_{TH} = 363.6m\Omega$ para que disipe la máxima potencia, lo que concuerda con el resultado algebraico que encontramos anteriormente.

Aquí hay un modelo de CircuitLab en funcionamiento para que vea por sí mismo que todo está bien. Tenga en cuenta que he invertido las conexiones + y - en la fuente actual, para corregir la dirección actual y resolver el problema de discontinuidad que encontré cuando respondí originalmente esta pregunta:

esquemático

^{simular este circuito}

Aquí hay un gráfico de potencia en R vs. R, para ver la potencia máxima en 363,6 mΩ:

Encontrar R para la potencia máxima entregable a R y determinar la potencia máxima

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Tony Estuardo EE75

Respuestas (2)

Chu

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Chu

carloc

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