Encontrar la energía interna usando la ecuación de estado

Energía interna$dU$se puede calcular a partir de

$$\begin{equation} dU=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}dV+\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}dT \end{equation}$$

Lo sabemos

$$\begin{equation} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{V} \end{equation}$$

Se puede usar la ecuación de Maxwell (que se puede ver a partir de$dU=TdS-PdV$):

$$\begin{equation} \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=-\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V} \end{equation}$$

y puede calcular

$$\begin{equation} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P \end{equation}$$

Por lo tanto,

$$\begin{equation} dU=\left(T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P\right)dV+C_{V}dT \end{equation}$$

En el caso del gas ideal, la ecuación de estado es$PV=nRT$,

$$\begin{equation} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P=0 \end{equation}$$

y la energía interna se puede integrar lo que da

$$\begin{equation} \Delta U=C_{V}(T_{f}-T_{i}) \end{equation}$$ .

En el caso de expansión adiabática$dS=0$, lo que da

$$\begin{equation} dU=-PdV \end{equation}$$

Usando,$PV^{\gamma}=\text{constant}$.Si constante es k podemos integrar y encontrar

$$\begin{equation} \Delta U=k\left(\frac{V_{f}^{-\gamma-1}-V_{i}^{-\gamma-1}}{\gamma+1}\right) \end{equation}$$

Fue simple en los dos casos anteriores porque pudimos reducir la integración en una variable.

Ahora bien, si consideramos un modelo de juguete

$$\begin{equation} PVT^{3}=k \end{equation}$$

En este caso

$$\begin{equation} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=\left(T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P\right)=-4P=-4\frac{k}{VT^{3}} \end{equation}$$

Si queremos integrar$dU$,$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}dV=-4\frac{k}{VT^{3}}dV$tiene 2 variables independientes y no se puede integrar.

Por tanto, la integración de la energía interna depende de la ecuación de estado. En algunos casos es posible integrar y en otros casos no será posible integrar la energía interna.

Dada una función$U=U(x_1, \dots, x_n)$de clase$\mathcal{C}^1$, para cualquier$a=(a_1,\dots,a_n)$y$b=(b_1,\dots,b_n)$,

$$\begin{align} U(b) - U(a) &= \sum\limits_{i=1}^{n}U(b_1, \dots, b_{i}, a_{i+1}, \dots, a_n) - U(b_1, \dots, b_{i-1}, a_{i}, \dots, a_n) \\ &= \sum\limits_{i=1}^{n}\int\limits_{a_i}^{b_i}\frac{\partial U}{\partial x_i}(b_1, \dots, b_{i-1}, t_i, a_{i+1}, \dots, a_n)\textrm{d}t_i \end{align}$$

Entonces, en tu caso$U = U(S, V)$, y deja$U_0 = U(S_0, V_0)$un estado de referencia, entonces

$$\begin{align} U(S_f,V_f) &= U_0 + \int\limits_{S_0}^{S_f}\frac{\partial U}{\partial S}(S, V_0)\textrm{d}S + \int\limits_{V_0}^{V_f}\frac{\partial U}{\partial V}(S_f, V)\textrm{d}V \\ &=U_0 + \int\limits_{S_0}^{S_f} T(S, V_0)\textrm{d}S -\int\limits_{V_0}^{V_f}p(S_f,V)\textrm{d}V \end{align}$$

La Primera Ley te da la derivada parcial de$U$, y la ecuación de estado te dará la relación entre las variables útiles, por lo que de hecho es posible encontrar el valor de$U$para cualquier estado.

Por lo general, mantiene una cosa constante y obtiene una ecuación diferencial en términos de las otras cantidades. Por ejemplo,

$$\left(\frac{dU}{dV}\right)_T=p$$

Esta es una referencia útil: http://authors.library.caltech.edu/25018/6/TOE05.pdf