encontrar la dirección del campo magnético dado el campo eléctrico y el vector k

Como señaló Sebastian Riese en los comentarios, esto se deriva de las ecuaciones de Maxwell, y específicamente de la Ley de Faraday. Suponer$\vec{B}$y$\vec{E}$son ondas planas polarizadas en un plano que viajan en la misma dirección con la misma frecuencia:

$$\vec{E} = \vec{E}_0 \cos \left[ \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t\right]\\ \vec{B} = \vec{B}_0 \cos \left[ \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t\right]$$ dónde $\vec{E}_0 = E_{0x} \hat{\imath} + E_{0y} \hat{\jmath} + E_{0z} \hat{k}$es un vector constante, y $\vec{B}_0$se define de manera similar. Si escribes el $x$-, $y$-, y $z$-componentes de la Ley de Faraday $\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t$, encontrarás que las componentes de los vectores deben satisfacer $$\omega B_{0x} = k_y E_{0z} - k_z E_{0y} \\ \omega B_{0y} = k_z E_{0x} - k_x E_{0z} \\ \omega B_{0x} = k_x E_{0y} - k_y E_{0x}$$ que se puede resumir en la ecuación $\omega \vec{B}_0 = \vec{k} \times \vec{E}$.

También puede aplicar las otras tres ecuaciones de Maxwell a la solución anterior para obtener más información sobre$\vec{E}_0$,$\vec{B}_0$, y$\vec{k}$. Específicamente, las Leyes de Gauss para campos eléctricos y campos magnéticos producen

$$\vec{k} \cdot \vec{E}_0 = \vec{k} \cdot \vec{B}_0 = 0$$ mientras que la Ley de Ampere da $$\frac{\omega}{c^2} \vec{E}_0 = - \vec{k} \times \vec{B}_0.$$